Читать онлайн «Об одном граничном варианте теоремы Морера»

Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2001. Том 42, № 5 УДК 517. 55 ОБ ОДНОМ ГРАНИЧНОМ ВАРИАНТЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА С. Г. Мысливец Аннотация: Пусть D — ограниченная область в Cn (n > 1) со связной гладкой границей ∂D и функция f непрерывна на ∂D. Рассмотрены условия (обобщающие условия теоремы Гартогса — Бохнера), обеспечивающие голоморфное продолже- ние функции f в область D. В качестве следствия приведен граничный аналог теоремы Морера, состоящий в равенстве нулю интегралов от функции f по пере- сечению границы области с комплексными кривыми из некоторого класса, также обеспечивающий голоморфное продолжение функции f в область. Библиогр. 9. Пусть D — ограниченная область в Cn (n > 1) с гладкой (класса C 1 ) связ- ной границей ∂D. Предположим, что для функции f ∈ C (∂D) интегралы по ∂D ∩ l равны нулю для всех комплексных кривых l из некоторого класса. Наша цель ответить на вопрос: будет ли f голоморфно продолжаться в D как функ- ция n комплексных переменных (т. е. справедлив ли такой граничный вариант теоремы Морера)? Для случая комплексных прямых этот вопрос исследовался Дж. Глобевником и Е. Л. Стаутом в [1], М. Л. Аграновским и А. М. Семеновым в [2] и А. М. Кытмановым и автором в [3]. В [4] данный вопрос рассмотрен для комплексных кривых, заданных в C2 . Пусть ψ = (ψ1 , . . . , ψn ) — отображение, состоящее из голоморфных функ- ций ψj , определенных в некоторой окрестности компакта KD = {w : w = ζ − z, z, ζ ∈ D}, и имеющее единственный нуль кратности µ в начале коор- динат. Рассмотрим дифференциальную форму n (n − 1)! X (−1)k−1 wk dw[k] ∧ dw U (w) = , (2πi)n |w|2n k=1 где dw = dw1 ∧ · · · ∧ dwn , а dw[k] получается из формы dw вычеркиванием дифференциала dwk . Дифференциальная форма U (w) есть ядpо Бохнера — Мартинелли в точке 0. В работе [5] показано, что для всякой функции F ∈ C 1 (D) справедливо представление µF (z), z ∈ D, Z Z  ¯ F (ζ)U (ψ(ζ − z)) − ∂F (ζ) ∧ U (ψ(ζ − z)) = (1) 0, z∈/ D, ∂Dζ Dζ в котором интеграл по области D абсолютно сходится, а в форме U (ψ(ζ − z)) точка z считается фиксированной (для точек z ∈ D форма U (ψ(ζ − z)) опреде- лена для всех ζ ∈ D в силу условия, наложенного на функции ψj , а если z ∈ / D, Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 99–01–00790).