Читать онлайн «Об одном классе квазиоднородных аффинных многообразий»

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР Серия математическая 36 A972), 749—764 УДК 519. 4 Э. Б. ВИНБЕРГ и В. Л. ПОПОВ ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КВАЗИОДНОРОДНЫХ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ Дана классификация неприводимых аффинных алгебраических многообразий, квазиоднородных относительно регулярного действия связной линейной группы автоморфизмов и таких, что стационарная подгруппа точки общего положения содержит максимальную унипотентную подгруппу группы преобразований. Указаны критерии нормальности и факториальности многообразий этого типа. Вычислена группа классов дивизоров и дано полное описание орбит в таких многообразиях. В этой статье рассматриваются алгебраические многообразия над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. j Неприводимое алгебраическое многообразие Ху на котором регулярно действует связная алгебраическая группа G, называется квазиоднородным многообразием группы G, если одна из орбит этого действия открыта в X. Точки открытой орбиты называются точками общего положения. Предметом настоящей статьи является арифметика таких квазиоднородных аффинных многообразий линейных алгебраических групп, у которых стационарная подгруппа точки общего положения содержит максимальную унипотентную подгруппу группы преобразований. Мы называем их S-многообразиями. Простейшими примерами 5-многообразий является квадратичные и грассмановы конусы. Классификация всех 5-м. ного- эбразий дается в п. 1 § 3. Наши основные результаты об S-многообразиях суть следующие: 1) описание всех орбит; 2) критерий нормальности; 3) критерий факториальности; 4) вычисление группы классов дивизоров. Последний результат существенно опирается на предыдущую работу одного из авторов G). Наиболее простой тип «S-многоО'бразия получается, если взять замыкание орбиты старшего вектора (т. е. весового вектора борелевской подгруппы) неприводимого линейного представления полупростой алгебраической группы. Многообразия, получаемые таким образом, мы называем '^^-многообразиями. Квадратичные и грассмановы конусы принадлежат к их числу. По методическим соображениям ЯК-многообразия трактуются в § 1 независимо от общего случая. , 750 Э. Б. ВИНБЕРГ, В. Л. ПОПОВ Все доказательства построены на том, что алгебра регулярных фун^ ций на 5-мно-гообразии с группой преобразований G является левоинва- риантной подалгеброй алгебры S регулярных функций на G, правоинва- риантных относительно максимальной унипотентной подгруппы. Алгебра 5 рассматривалась ранее различными авторами (*), B), C). Она замечательна тем, что в ней реализуются ровно по одному разу все неприводимые 'Представления группы G. Поэтому ее левоинвариантные подал- гебры легко описываются в терминах полугруппы старших весов. Этому посвящен § 2. В § 3 полученные результаты применяются к арифметике ^-многообразий. Обозначения: & —основное поле, алгебраически замкнутое и нулевой характеристики; k* — его мультипликативная группа; Q — поле рациональных чисел; Q+ — полукольцо неотрицательных рациональных чисел; Z — кольцо целых чисел; Z+ — полукольцо неотрицательных целых чисел; Zn — циклическая группа порядка щ ~~РУ~^- проективное' пространство, ассоциированное с векторным пространством V; k(X) — поле рациональных функций на неприводимом алгебраиче- k[X] — алгебра регулярных функций на X; G — связная линейная алгебраическая группа; В — ее фиксированная борелевская подгруппа; ?(А) — аддитивно записанная группа характеров (т.