Читать онлайн «Высшая математика (часть 2). Конспект лекций. Формула Тейлора»

19. Ф ормула Тейлора Главной формулой дифференциального исчисления является формула Тейлора. Эта формула позволяет упростить изучение поведение функции в окрестности данной точки. Формула Тейлора реализует идею, заключающуюся в следующем: для данной функции f(x) в точке x0 подобрать такой многочлен Pn ( Dx) , где Dx = ( x - x0 ) , чтобы разность f ( x) - Pn ( Dx) была (при фиксированном x0) "достаточно мала". Точнее говоря, многочлен Pn ( Dx) подбирается так, чтобы выполнялось соотношение n f ( x) - Pn ( Dx) = o ( Dx) или n f ( x) = Pn ( Dx) + o ( Dx) . (1. 19. 1) Если такой многочлен найден, то (с "малой" погрешностью) в окрестности точки x0 можно вместо f(x) исследовать многочлен Pn ( Dx) , который является существенно более простым математическим объектом исследования. Частным случаем формулы (1. 19. 1) при n=1 является формула Dy = f ( x) - f ( x0 ) = f ¢( x0 ) Dx + o ( Dx) , рассмотренная ранее (формула (1. 10. 1)), с помощью которой введено понятие дифференциала dy = f ¢( x0 ) Dx . Решение задачи о нахождении многочлен Pn ( Dx) , удовлетворяющего условию (1. 19. 1), дается следующей теоремой. Теорема (формула Тейлора). Для всякой функции f(x), определенной в некот орой окрест ност и т очки x0 и имеющей в эт ой т очке производные f ¢ ( x0 ), f ¢¢ ( x0 ),K , f ( n ) ( x0 ) , а в некот орой окрест ност и эт ой т очки ­ производную f ( n+1) ( x) , справедлива формула f ¢( x0 ) f ¢¢( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + Dx + ( Dx) 2 +K + ( Dx) n + rn ( x) , (1. 19. 2) 1! 2! n! где ( n +1) f (c) rn ( x) = ( Dx) n+1 , (1. 19. 3) ( n + 1) ! с ­ некот орая т очка, принадлеж ащая инт ервалу (x0, x). Доказат ельст во. Обозначим через rn ( x) разность k n (k) (x - x ) 0 rn ( x) = f ( x) - å f ( x0 ) . (1. 19. 4) k=0 k!