Читать онлайн «О свободном действии группы на абелевой группе»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2002. Том 43, № 3 УДК 512. 542 О СВОБОДНОМ ДЕЙСТВИИ ГРУППЫ НА АБЕЛЕВОЙ ГРУППЕ В. Д. Мазуров, В. А. Чуркин Аннотация: Действие нетривиальной группы G на (аддитивной) ненулевой группе V называется свободным, если vg 6= v для 1 6= g ∈ G, 0 6= v ∈ V . Теорема 2. Пусть группа G, действующая свободно на ненулевой абелевой группе, порождается непустым нормальным множеством X элементов порядка 3. Если выполнено любое из следующих условий: (а) порядок x−1 y конечен для любых элементов x, y ∈ X, (б) порядок xy конечен для любых элементов x, y ∈ X, то G — конечная группа, изоморфная циклической группе порядка 3, SL2 (3) или SL2 (5). Следствие 2. Пусть x — элемент порядка 3 в группе G, действующей свобод- но на нетривиальной абелевой группе. Если для любого g ∈ G порядок коммутатора [x, g] конечен, то x лежит в конечной нормальной подгруппе группы G. Библиогр. 7. Введение. Действие нетривиальной группы G на (аддитивной) ненуле- вой группе V называется свободным, если vg 6= v для 1 6= g ∈ G, 0 6= v ∈ V . А. Х. Журтов и один из авторов работы [1] показали, что группа G, порожден- ная элементами порядка 3 и действующая свободно на абелевой группе, конечна, если произведение любых двух элементов порядка 3 из G имеет конечный по- рядок. Доказательство этого результата основывается на теореме авторов [2], рассмотревших случай, когда G порождается двумя элементами x и y порядка 3, для которых порядки элементов xy и xy −1 конечны. Цель настоящей работы — получить аналогичные результаты для свободно действующей группы, порожденной нормальным множеством X элементов по- рядка 3, при таких же условиях на порядки попарных произведений элементов из X. Теорема 1. Пусть группа G, действующая свободно на ненулевой абелевой группе, порождается непустым нормальным множеством X элементов порядка 3. Если выполнено любое из следующих условий: (а) порядок x−1 y конечен для любых элементов x, y ∈ X, (б) порядок xy конечен для любых элементов x, y ∈ X, то G — конечная группа, изоморфная циклической группе порядка 3, SL2 (3) или SL2 (5). Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 02–01–00495), грантом в области фундаментального естествознания Министерства образования России (E00–1. 0–77) и грантом программы «Университеты Рос- сии» (УР. 04. 01. 031). c 2002 Мазуров В. Д. , Чуркин В. А. О свободном действии группы на абелевой группе 601 Следствие 1. Пусть x — элемент порядка 3 в группе G, действующей свободно на нетривиальной абелевой группе. Если для любого g ∈ G поря- док коммутатора [x, g] конечен, то x лежит в конечной нормальной подгруппе группы G. Отметим для сравнения близкий результат А. И. Созутова [3], описываю- щий подгруппу, порожденную элементами простого порядка в группе, свободно действующей на абелевой группе, при условии конечности любой подгруппы, порожденной сопряженными элементами простого порядка.