Читать онлайн «О порождении спорадических простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2003. Том 44, № 1 УДК 512. 542 О ПОРОЖДЕНИИ СПОРАДИЧЕСКИХ ПРОСТЫХ ГРУПП ТРЕМЯ ИНВОЛЮЦИЯМИ, ДВЕ ИЗ КОТОРЫХ ПЕРЕСТАНОВОЧНЫ В. Д. Мазуров Аннотация: Доказывается следующий результат. Пусть G — одна из 26 споради- ческих простых групп. Группа G тогда и только тогда не может быть порождена тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда G изоморфна M11 , M22 , M23 или M c L. Ключевые слова: конечная простая группа, спорадическая группа, порождаю- щий элемент, инволюция Введение В 1980 г. в «Коуровскую тетрадь» [1] мной был внесен вопрос 7. 30: Какие конечные простые группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны? Группы, обладающие таким свойством, позже были названы (2 × 2, 2)-группами Я. Н. Нужиным, который в серии своих работ [2–5] пока- зал, что среди простых знакопеременных групп и простых групп лиева типа (2 × 2, 2)-группами не являются только группы, изоморфные одной из групп A6 , A7 , A8 , L3 (q), U3 (q), L4 (2m ), U4 (2m ) и S4 (3). К настоящему времени ответ на вопрос 7. 30 известен и для всех споради- ческих групп. Начало было положено А. В. Ершовым и Н. С. Невмержицкой [6], которые с помощью вычислительной машины перебрали все тройки инво- люций в известных подстановочных представлениях групп Матье и выяснили, что M12 , M24 являются (2 × 2, 2)-группами, а M11 , M22 и M23 нет. Я. Н. Ну- жин и А. В. Тимофеенко [7] добавили к списку групп, которые не являются (2 × 2, 2)-группами, группу M c L и показали, что J1 , J2 , HS порождаются чет- верной группой и инволюцией, а позже, модифицировав программу Ершова и Невмержицкой, выяснили [8, 9], что Suz, Ru, He, Co2 , Co3 , J3 , F22 , F23 , ON также являются (2 × 2, 2)-группами. Группы Ly и J4 были исследованы неза- висимо А. В. Тимофеенко [10] и Б. Л. Абашеевым [11]. Позднее Б. Л. Абашеев [12] показал, что свойством (2 × 2, 2) обладают T h, HN и B. В дальнейшем А. В. Тимофеенко [13], используя мощную вычислительную технику Института вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск) и явный вид порож- дающих элементов спорадических групп, указанный в [14], проверил с помощью Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02–01–00495), грантом E00–1. 0–77 в области фундаментального естествознания Минобразования России и грантом УР. 04. 01. 031 программы «Университеты России». c 2003 Мазуров В. Д. 194 В. Д. Мазуров компьютерной системы GAP [15] выполнение (2 × 2, 2)-свойства для всех про- стых спорадических групп, кроме B и M . В частном письме С. Нортон привел набросок доказательства того, что M является (2 × 2, 2)-группой. В настоящей работе мы показываем, как получить все эти результаты еди- ным методом, используя только таблицы характеров и известную информацию о максимальных подгруппах спорадических групп.