Читать онлайн «Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2000. Том 41, № 3 УДК 517. 9 МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ПЛОСКОСТИ Е. В. Воробьева, Р. К. Романовский Аннотация: Рассматривается краевая задача для гиперболической системы с дву- мя независимыми переменными в области с кусочно-гладкой границей, пересекае- мой характеристиками под ненулевым углом. Устанавливаются точные условия однозначной разрешимости в терминах системы интегральных уравнений на ком- поненты граничной вектор-функции. При выполнении этих условий строится явная формула для решения. Получено приложение к смешанной задаче. В основе подхо- да лежит аппарат матриц-функций Римана первого и второго родов, построенный ранее одним из авторов применительно к задаче Коши. Библиогр. 12. Введение В работе [1] построено явное представление решений задачи Коши для ги- перболической системы на плоскости. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов. Матрица первого типа Uk (x, y) определена на парах точек x = (s, t), y = (σ, τ ) ∈ R2 , лежащих на одной и той же характеристике с номером k, и является при фиксированной y разрешающей матрицей системы обыкно- венных уравнений «переноса» вдоль проходящей через точку y характеристи- ки с номером k; таких матриц столько, сколько характеристик проходит через фиксированную точку. Матрица второго типа V (x, y) определена на осталь- ных парах (x, y) и является при фиксированной y кусочно-гладким решением исходной системы со скачками на характеристиках, строящимися по Uk . Суще- ственную роль в построениях играют двойственные соотношения для матриц Uk , V как функций от y при фиксированной x. В случае постоянных коэф- фициентов получены явные формулы для Uk , V . В [2–4] построенный аппарат использован для изучения поведения решений при большом времени. В данной работе этот аппарат применен к анализу других краевых задач для гиперболических систем на плоскости. В § 1 излагаются необходимые сведения о матрицах Uk , V из [1] в форме, удобной для последующего изложения. В § 2 гиперболическая система рассматривается в области, граница кото- рой содержит кусочно-гладкий участок Γ, пересекаемый выпущенными из об- ласти «вниз» характеристиками под ненулевым углом. Ставится (вообще го- воря, некорректная) краевая задача L(u) = f , u|Γ задана (L — гиперболиче- ский оператор). Устанавливаются необходимые и достаточные условия одно- значной разрешимости в терминах системы интегральных уравнений на ком- поненты граничной вектор-функции. При выполнении этих условий строится явное представление решений (обобщенная формула Римана). В случае, когда c 2000 Воробьева Е. В. , Романовский Р. К. 532 Е. В. Воробьева, Р. К. Романовский Γ — прямая t = 0, условия разрешимости выполняются тождественно и эта формула переходит в формулу из [1] для решений задачи Коши.