Читать онлайн «Элементы высшей математики»

Министерство здравоохранения Республики Беларусь Минский государственный медицинский институт Г. К. Ильич ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Учебное пособие для студентов медицинских ВУЗов МИНСК, 1998 г. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 1. Производная функции Количественное описание сложных изменяющихся процессов жизнедеятельности с помощью элементарной математики невозможно, поскольку соответствующие математиче- ские величины, используемые для этой цели, должны сами обладать способностью к “дви- жению” . Высшая математика, в отличие от элементарной, оперирует зависимостями и вели- чинами, подверженными изменениям, происходящим по определенным законам. Величиной, определяющей темп изменения функциональных зависимостей в высшей математике, явля- ется производная функции. Для пояснения этого понятия рассмотрим рис. 1, где графиче- ски представлена некоторая произвольная функциональная зависимость y = f (x). Отметим на графике не- которые значения аргумента х1 и х2 , разница между которыми есть приращение аргумента : _ Δ x = х2 х1 . Приращение функции: Δy = y2 - y1. Рис. 1 Для непрерывных функ- ций если Δ x → 0, то и Δ y → 0. То, к чему при неогра- Δy ниченном убывании Δx стремится отношение Δx , зависит от конкретного вида функции и характеризует темп ее изменения. Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при его неограниченном убывании. Обозначение dy производной функции одного аргумента: y’ или dx . Таким образом: 2  Δy dy Δy y ′ = lim , или = lim . (1) Δx → 0 Δx dx Δ x → 0 Δx Производная функции имеет простой геометрический смысл. Из рис. 1 видно, что отношение Δy BC = = tg α , Δx AC где α - угол наклона секущей AB к оси абсцисс.