Сибирский математический журнал
Май—июнь, 2002. Том 43, № 3
УДК 517. 83
ОЦЕНКА УГЛА ОБЗОРА КРИВОЙ
В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
НЕПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
Ю. Г. Решетняк
Аннотация: Дано элементарное доказательство неравенства, оценивающего неко-
торую характеристику кривой — угол обзора кривой из данной точки — через ин-
тегральную кривизну (поворот) кривой. Рассматривается случай кривых в мет-
рическом пространстве неположительной кривизны в смысле А. Д. Александрова. Библиогр. 11.
1. Рассматриваются кривые в метрическом пространстве M с внутренней
метрикой неположительной кривизны в смысле А. Д. Александрова [1]. (Та-
кие пространства в литературе часто называются также пространствами типа
CAT(0). )
Для всякой кривой K в пространстве неположительной кривизны M опре-
делена некоторая величина κ(K) — поворот или интегральная кривизна кри-
вой. Для кривых в пространстве Rn это понятие введено А. Д. Александровым
(см. [1, 2]). Для произвольных пространств неположительной кривизны оно вве-
дено в статье [3]. В случае, если M — риманово пространство и кривая K удо-
влетворяет принятым в дифференциальной геометрии условиям регулярности,
величина κ(K) равна интегралу геодезической кривизны кривой относительно
дуги (см. [4]).
Пусть K — кривая в пространстве неположительной кривизны. Всякой точ-
ке O, не лежащей на данной кривой, может быть сопоставлено число
ϕ(O, K), которое мы назовем углом обзора кривой из точки O. Величина
ϕ(O, K) в общем случае определяется следующим образом. Для точки O опре-
делено метрическое пространство NM (O) — пространство направлений в точ-
ке O. Для всякой точки X кривой K определена кратчайшая OX, соединяющая
точку O с точкой X. Пусть ξ(X) — направление кратчайшей OX в точке O. Тем
самым в пространстве NM (O) определена некоторая кривая. Ее длину в метри-
ческом пространстве NM (O) мы и называем углом обзора кривой K из точки O. В случае кривых в Rn величина ϕ(O, K) равна длине проекции кривой K на
единичную сферу с центром O. Цель настоящей статьи — доказать следующее утверждение. Основная теорема. Пусть K — кривая конечного поворота в простран-
стве M неположительной кривизны, O — точка, не лежащая на кривой K, A и
B — концевые точки кривой K. Пусть, кроме того, α и β — углы между крат-
чайшими OA и OB и кривой K в точках A и B соответственно. Тогда имеет
место неравенство
ϕ(O, K) ≤ κ(K) + π − α − β. c 2002 Решетняк Ю. Г. Оценка угла обзора кривой 695
Частный случай данного утверждения, когда пространство M — обычная
евклидова плоскость E2 , установлен Радоном [5]. Неравенство, полученное Ра-
доном, имеет приложения в теории потенциала. Оно находит применение также
при исследовании геометрии двумерных многообразий ограниченной кривизны
с помощью изотермической системы координат (см. [6–8]).