Читать онлайн «Оценка угла обзора кривой в параметрическом пространстве неположительной кривизны»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2002. Том 43, № 3 УДК 517. 83 ОЦЕНКА УГЛА ОБЗОРА КРИВОЙ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ НЕПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ Ю. Г. Решетняк Аннотация: Дано элементарное доказательство неравенства, оценивающего неко- торую характеристику кривой — угол обзора кривой из данной точки — через ин- тегральную кривизну (поворот) кривой. Рассматривается случай кривых в мет- рическом пространстве неположительной кривизны в смысле А. Д. Александрова. Библиогр. 11. 1. Рассматриваются кривые в метрическом пространстве M с внутренней метрикой неположительной кривизны в смысле А. Д. Александрова [1]. (Та- кие пространства в литературе часто называются также пространствами типа CAT(0). ) Для всякой кривой K в пространстве неположительной кривизны M опре- делена некоторая величина κ(K) — поворот или интегральная кривизна кри- вой. Для кривых в пространстве Rn это понятие введено А. Д. Александровым (см. [1, 2]). Для произвольных пространств неположительной кривизны оно вве- дено в статье [3]. В случае, если M — риманово пространство и кривая K удо- влетворяет принятым в дифференциальной геометрии условиям регулярности, величина κ(K) равна интегралу геодезической кривизны кривой относительно дуги (см. [4]). Пусть K — кривая в пространстве неположительной кривизны. Всякой точ- ке O, не лежащей на данной кривой, может быть сопоставлено число ϕ(O, K), которое мы назовем углом обзора кривой из точки O. Величина ϕ(O, K) в общем случае определяется следующим образом. Для точки O опре- делено метрическое пространство NM (O) — пространство направлений в точ- ке O. Для всякой точки X кривой K определена кратчайшая OX, соединяющая точку O с точкой X. Пусть ξ(X) — направление кратчайшей OX в точке O. Тем самым в пространстве NM (O) определена некоторая кривая. Ее длину в метри- ческом пространстве NM (O) мы и называем углом обзора кривой K из точки O. В случае кривых в Rn величина ϕ(O, K) равна длине проекции кривой K на единичную сферу с центром O. Цель настоящей статьи — доказать следующее утверждение. Основная теорема. Пусть K — кривая конечного поворота в простран- стве M неположительной кривизны, O — точка, не лежащая на кривой K, A и B — концевые точки кривой K. Пусть, кроме того, α и β — углы между крат- чайшими OA и OB и кривой K в точках A и B соответственно. Тогда имеет место неравенство ϕ(O, K) ≤ κ(K) + π − α − β. c 2002 Решетняк Ю. Г. Оценка угла обзора кривой 695 Частный случай данного утверждения, когда пространство M — обычная евклидова плоскость E2 , установлен Радоном [5]. Неравенство, полученное Ра- доном, имеет приложения в теории потенциала. Оно находит применение также при исследовании геометрии двумерных многообразий ограниченной кривизны с помощью изотермической системы координат (см. [6–8]).