Читать онлайн «Высшая математика (часть 2). Конспект лекций. Наибольшее и наименьшее значения функции»

Наибольшее и наимень шее значения функции Функция z=f(x; y), дифференцируемая в ограниченной замкнутой области D, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в точке на границе области. Пример 23. Определить наибольшее и наименьшее значения функции z = x 2 + y 2 - xy + x + y в области D = { ( x; y); x £ 0; y £ 0; x + y ³ -3} . Решение. Указанная область показана на рис. (2. 12. 1) Находим стационарные точки ì zx¢ = 2 x - y + 1 = 0 í . î z¢y = 2 y - x + 1 = 0 Отсюда получаем x=­1, y=­1. Точка M(­1; ­1) входит в область D. Находим значение Рис. 2. 12. 1 функции в точке M: f(M)=1+1­1­1­1=­1. Исследуем функцию на границах области. 1. При x=0 имеем z=y2+y, где ­3£y£0. 1 æ 1ö 1 1 1 z ¢y = 2 y + 1 = 0 ; y0 = - ; zç - ÷ = - = - ; 2 è 2ø 4 2 4 z(­3)=9­3=6, z(0)=0. Сравнивая эти значения, получаем, что zнаиб=6 в точке (0; ­3); 1 æ 1ö zнаим = - в точке ç 0; - ÷ . 4 è 2ø 2. При y=0 имеем z=x2+x, где ­3£y£0. 1 zx¢ = 2 x + 1 = 0 ; x0 = - ; 2 æ 1ö 1 zç - ÷ = - ; z(­3)=9­3=6, z(0)=0. è 2ø 4 Сравнивая эти значения, получаем, что zнаиб=6 в точке (­3; 0); 1 æ 1 ö zнаим = - в точке ç - ; 0÷ . 4 è 2 ø 2  3. При x+y=­3 имеем y=­x­3 и z = x 2 + ( - x - 3) 2 - x( - x - 3) + x + ( - x - 3) = x 2 + x 2 + 6 x + 9 + x 2 + 3x + x - x - 3 = = 3x 2 + 9 x + 6 , где ­3£x£0. 3 æ 3 ö 27 27 3 zx¢ = 6 x + 9 = 0 ; x0 = - ; zç - ÷ = - +6= - , 2 è 2ø 4 2 4 z(­3)=27­27+6=6, z(0)=6. Сравнивая эти значения, получаем, что zнаиб=6 в точке (­3; 0) и в точке (0; ­3); 3 æ 3 3ö zнаим = - в точке ç - ; - ÷ . 4 è 2 2ø Сравнивая полученные значения, получаем, что zнаиб=6 в точках (­3; 0) и (0; ­3); zнаим=­1 в стационарной точке (­1; ­1).