Читать онлайн «О существовании пространственноподобных поверхностей с заданной границей»

Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2000. Том 41, № 5 УДК 517. 597 О СУЩЕСТВОВАНИИ ПРОСТРАНСТВЕННОПОДОБНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ЗАДАННОЙ ГРАНИЦЕЙ Е. Г. Григорьева Аннотация: Пусть Φ(x, ξ) : Rn × Rn → R — непрерывная функция, выпуклая и однородная по переменной ξ. Определяется пространство F как Rn × R, в кото- ром скалярный квадрат вектора χ = (y1 , . . . , yn , t), приложенного в точке (x, z) = (x1 , . . . , xn , z), определяется по формуле |χ|2F = −t2 + Φ2 (x, y). Вводится понятие пространственноподобных поверхностей в F , и ставится задача описания условий на границу некоторой наперед заданной поверхности, при кото- рых существует пространственноподобная поверхность с тем же краем. Приводятся необходимые и достаточные условия разрешимости этой задачи. Библиогр. 8. 1. При изучении многообразий, несомненно, представляют интерес их гло- бальные свойства, в частности, типы экстремальных поверхностей, которые они допускают. В римановых многообразиях это минимальные поверхности (мыль- ные пленки и их обобщения на высшие размерности), которые и по сей день остаются объектом многочисленных исследований. Аналогичные поверхности в пространствах-времени, т. е. многообразиях с лоренцевой метрикой, суть так называемые «максимальные» поверхности. Эти поверхности возникают при ре- шении задач на максимум площади и являются поверхностями нулевой средней кривизны. Стоит отметить и многочисленные физические приложения макси- мальных поверхностей, см. , например, [1]. В пространстве-времени Минковского Rn+11 , т. е. (n + 1)-мерном веществен- ном пространстве с метрикой ds2 = −dt2 + dx21 + dx22 + · · · + dx2n , где t ∈ R, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , уравнение максимальных поверхностей имеет вид ! n X ∂ ∂f /∂xi p = 0, |∇f (x)| < 1. i=1 ∂xi 1 − |∇f (x)|2 Условие |∇f (x)| < 1 означает, что поверхность t = f (x) пространственноподоб- на, т. е. на ней индуцируется риманова метрика. В работах Р. Бартника и Л. Саймона [2] и Н. Куэна [3] выявлена тесная связь разрешимости задачи Дирихле для уравнения максимальных поверхно- стей с задачей о существовании функции t = f (x) с пространственноподобным Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 97–01–00414) и гранта INTAS (№ 10170). c 2000 Григорьева Е. Г. 1040 Е. Г. Григорьева графиком и с заданными граничными значениями (в общем случае — о суще- ствовании пространственноподобной поверхности с заданным краем). В работе В. М. Миклюкова и А. А. Клячина [4] найдены необходимые и достаточные условия на граничную функцию t = ϕ(x) : ∂D → R для существо- вания пространственноподобной поверхности, заданной графиком липшицевой функции t = f (x) : D → R такой, что f (x)|∂D = ϕ(x).