Читать онлайн «О ручных автоморфизмах некоторых метабелевых групп»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2000. Том 41, № 2 УДК 512. 5 О РУЧНЫХ АВТОМОРФИЗМАХ НЕКОТОРЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ ГРУПП Е. И. Тимошенко Аннотация: Для многообразия Am A, заданного тождествами [[x, y], [u, v]]=[z, w]m = 1, и многообразия A2 ∧Nc , заданного тождествами [x1 , . . . , xc+1 ] = [[x, y], [u, v]] = 1, найдены легко проверяемые условия для того, чтобы автоморфизмы свободной группы ранга r (r 6= 3) этих многообразий были ручными. Указаны не ручные ав- томорфизмы для метабелевых групп с одним определяющим соотношением. Биб- лиогр. 13. Пусть M — некоторое многообразие групп и Fr (M) — свободная группа ран- га r этого многообразия. Автоморфизм α группы Fr (M) называется ручным, если он индуцирован некоторым автоморфизмом свободной группы Fr того же ранга при естественном гомоморфизме Fr на Fr (M). Это понятие введено Ба- хмутом и Мочизуки. Они доказали [1], что для натурального m, делящегося на квадрат, свободная группа ранга r ≥ 2 многообразия Am A, заданного тожде- ствами [[x, y], [u, v]] = [z, w]m = 1, имеет неручные автоморфизмы. Чейн [2] построил пример неручного автомор- физма в свободной метабелевой группе ранга 3. При r 6= 3 все автоморфизмы свободной метабелевой группы Sr = Fr (A2 ) ручные, как показали независимо Бахмут и Мочизуки [3] и В. А. Романьков [4]. К. Гупта и автор доказали [5], что при любом не простом m существу- ет примитивная система элементов группы Fr (Am A), т. е. часть базиса этой группы длины r − 1, не индуцированная примитивной системой группы Fr . От- сюда, в частности, следует, что при любом не простом m группа Fr (Am A) имеет неручные автоморфизмы. В § 1 приведены необходимые и достаточные условия для того, чтобы ав- томорфизм группы Fr (Apn A) (p простое, r 6= 3) был ручным. Отсюда следует алгоритмическая распознаваемость ручных автоморфизмов свободных групп многообразий Apn A при r 6= 3. Для группы G обозначим через γm+1 (G) (m + 1)-й член нижнего централь- ного ряда группы G, т. е. γ1 (G) = G, γm+1 (G) = [γm (G), G]. Обозначим через Sr,m свободную группу ранга r в многообразии метабелевых групп класса ниль- потентности не выше m, т. е. Sr,m = Sr /γm+1 (Sr ). В [6] доказано, что группа Sr,m для любых r ≥ 3, m ≥ 3 имеет примитивные системы элементов длины r − 1, не индуцированные примитивными системами элементов группы Sr . Отсюда, в частности, следует, что группа Sr,m имеет неручные автоморфизмы при любых m ≥ 3 и r ≥ 3. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 99–01–00567). c 2000 Тимошенко Е. И. О ручных автоморфизмах некоторых метабелевых групп 443 Вопрос о распознавании ручных автоморфизмов сформулирован в обзоре [7]. Для конечно порожденных абелевых групп он решен в [8]. В [9] доказано, что для любого нильпотентного многообразия N и любой свободной группы Fr (N) этого многообразия алгоритмически разрешим вопрос: является ли автоморфизм α группы Fr (N) ручным?