Читать онлайн «Краевые задачи для стационарного уравнения Шредингера на римановых многообразиях»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2002. Том 43, № 3 УДК 517. 95 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ Е. А. Мазепа Аннотация: Предлагается новый подход к постановке краевых задач для эллипти- ческих дифференциальных уравнений на произвольных римановых многообразиях, основанный на введении классов эквивалентных на многообразии M функций. На основе данного подхода устанавливается взаимосвязь между разрешимостью крае- вых и внешних краевых задач для стационарного уравнения Шредингера, доказы- вается справедливость теоремы сравнения и теоремы единственности для решений краевых задач в указанной постановке, кроме того, получены условия, при выпол- нении которых сохраняется разрешимость краевых задач при изменении коэффи- циента в уравнении Шредингера. Библиогр. 12. 1. Введение Проблема разрешимости различных краевых задач (в том числе задачи Ди- рихле) для эллиптических дифференциальных уравнений на римановых много- образиях с предписанными граничными данными на «бесконечности» является достаточно интересной в анализе и геометрии. Истоки указанной проблемати- ки восходят к классификационной теории некомпактных римановых многооб- разий, основанной на изучении функциональных пространств (например, про- странств гармонических функций) на римановых многообразиях. Многие про- блемы, относящиеся к данному направлению, можно сформулировать в виде теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность пространств ограничен- ных решений некоторых эллиптических уравнений на многообразии (см. [1–8]). Проблема разрешимости задачи Дирихле о восстановлении решения урав- нения по граничным данным на «бесконечности» является в некотором смысле двойственной по отношению к справедливости теоремы Лиувилля на много- образии. С этой точки зрения наибольший интерес представляют некомпакт- ные и особенно полные римановы многообразия. Заметим, что сама постанов- ка задачи Дирихле на таких многообразиях может оказаться проблематичной, поскольку неясно, как понимать граничные данные. С другой стороны, если многообразие допускает некоторую геометрическую компактификацию, то по- становка краевых задач на таком многообразии, в том числе и задачи Дирихле, осуществляется так же, как и для ограниченных областей в Rn (см. , например, [8–12]). В настоящей работе предлагается новый подход к постановке краевых задач на некомпактных римановых многообразиях, основанный на введении понятия классов эквивалентных на многообразии M непрерывных ограниченных функ- ций. c 2002 Мазепа Е. А. 592 Е. А. Мазепа В основе работы лежит изучение ограниченных решений стационарного уравнения Шредингера Lu ≡ ∆u − c(x)u = 0, (1) где c(x) — гладкая неотрицательная функция, на некомпактном римановом мно- гообразии M без края.