Читать онлайн «Высшая математика (часть 2). Конспект лекций. II. Дифференциальное исчисление функции двух переменных»

II. ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ф УНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основны е понятия Анализ функций двух переменных во многом схож с анализом функции одной переменной. Поэтому полезно сравнивать результаты данного раздела с соответствующими результатами, касающимися функций одной переменной. Однако, наличие двух аргументов обуславливает и некоторые отличия этого анализа. Определение. Если каж дой паре значений двух не зависящих друг от друга переменных величин x и y из некот орого множ ест ва D на плоскост и XOYпо некот орому правилу f соот вет ст вует одно значение z из множ ест ва Z на прямой, т о говорят , чт о z ­ функция двух переменных (x; y), определенная на множ ест ве D. Данный факт записывают т ак: z = f ( x; y) , где ( x; y) Î D или z = f ( M ) , где M Î D или f M ( x ; y ) Î D ¾¾® zÎZ . При этом множество D называется област ью определения функции z = f ( x; y) , Z ­ област ью значений этой функции. Если при записи z = f ( x; y) не указывается область определения D, то при этом имеется в виду естественная область определения, т. е. множество пар значений (x; y), при которых данное выражение имеет смысл. Пример 1. Найти область определения функции z = ln( y 2 - x 2 ) . Решение. Очевидно, что D= {( x; y): } {( x; y): y2 - x2 > 0 = } {( x; y): y2 > x2 = y> x . } Область D изображена на рис. 2. 1. 1 с помощью штриховки. Пунктирная линия указывает на то, что соответствующие прямые не входят в область D. Геометрическим образом функции z = f ( x; y) является некоторая поверхность в пространстве OXYZ. Рис. 2. 1. 1  Пример 2. Каков геометрический образ функции z = x 2 - y2 ? Решение. Этой функции соответствует гиперболический параболоид (см. рис. 2. 1. 2). Пример 3. Функции z=Ax+By+C соответствует некоторая плоскость. Рис. 2. 1. 2 Пример 4. Дана функция ì1, если x и y ­ рациональн ые числа, z=í î0, если x и y ­ не являются рациональн ыми числами. Для данной функции весьма затруднительно построить соответствующую поверхность. Определение. d ­ окрест ност ью т очки M0(x0; y0) на плоскост и XOYназывает ся совокупност ь всех т очек M(x; y), леж ащих внут ри круга радиуса d с цент ром в т очке M0(x0; y0). Таким образом, по определению ì ü Ed = {( x; y): } M 0 M < d = í( x; y): î 0 2 (x - x ) + ( y - y ) 0 2 < dý, þ где M 0 M ­ длина вект ора M 0 M .