Читать онлайн «Новый метод Монте-Карло для решения стационарного диффузионного уравнения»

Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2000. Том 41, № 5 УДК 518:517. 948 НОВЫЙ МЕТОД МОНТЕ–КАРЛО ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО ДИФФУЗИОННОГО УРАВНЕНИЯ Г. А. Михайлов, А. В. Бурмистров Аннотация: Построены специальное вероятностное представление и соответству- ющий метод Монте-Карло для решения стационарного диффузионного уравнения с вырождающимся на границе конвективным слагаемым. Этот метод практически важен, в частности, потому, что дискретная численная реализация стандартного вероятностного представления в стационарном случае допускает удовлетворитель- ную оценку детерминированной погрешности лишь для достаточно малых областей. Кроме того, предлагаемый метод позволяет получать асимптотически несмещенные оценки параметрических производных и градиента решения, а также оценивать ве- роятностные моменты решения в задачах со случайными параметрами. Показано также, что от условия вырождения конвективного слагаемого можно освободить- ся, переходя к прямому моделированию диффузионных траекторий в некотором пограничном слое. Библиогр. 6. В работе построены специальное вероятностное представление и соответ- ствующий метод Монте-Карло для решения стационарного диффузионного уравнения с вырождающимся на границе конвективным слагаемым. Этот метод практически важен, в частности, потому, что дискретная численная реализация стандартного вероятностного представления в стационарном случае допускает удовлетворительную оценку детерминированной погрешности лишь для доста- точно малых областей. Кроме того, предлагаемый метод позволяет получать асимптотически несмещенные оценки параметрических производных и гради- ента решения, а также оценивать вероятностные моменты решения в задачах со случайными параметрами. Показано также, что от условия вырождения конвективного слагаемого можно освободиться, переходя к прямому моделиро- ванию диффузионных траекторий в некотором пограничном слое. 1. Оценка решений на основе «блуждания по сферам и шарам» Рассмотрим трехмерную задачу Дирихле для уравнения ∆u + (v, grad u) + cu = −g, u|Γ = ψ (1. 1) в области Ω с границей Γ, которая предполагается односвязной и кусочно-глад- кой. Будем полагать также, что функции v, c и g удовлетворяют условию Гёльдера в Ω, а функция ψ непрерывна на Γ. Пусть Γε — ε-окрестность Γ, Работа выполнена при финансовой поддержке научной программы «Университеты Рос- сии — фундаментальные исследования» (грант № 3759) и ФЦП «Интеграция». c 2000 Михайлов Г. А. , Бурмистров А. В. Новый метод Монте-Карло 1099 D(r) — максимальный из шаров с центром в точке r, целиком лежащих в Ω, S(r) — соответствующая сфера радиуса d = d(r). Для функции u(r) можно записать интегральное уравнение [1], которое в Ω \ Γε имеет вид Z Z 1 0 u1 (r) = u 1 (r (s)) ds + Gr (r0 )c(r0 )u1 (r0 ) dr0 4πd2 (r) S(r) D(r) Z Z + Gr (r0 )(v(r0 ), grad u1 (r0 )) dr0 + Gr (r0 )g(r0 ) dr0 . (1. 2) D(r) D(r) Для r ∈ Γε полагаем u1 ≡ u.