Читать онлайн «Кратные ряды Лорана и фундаментальные решения линейных разностных уравнений»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2007. Том 48, № 2 УДК 517. 55 КРАТНЫЕ РЯДЫ ЛОРАНА И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Е. К. Лейнартас Аннотация: На основе понятия фундаментального решения получено решение за- дачи Коши для однородного многомерного линейного разностного уравнения с по- стоянными коэффициентами. Ключевые слова: кратный ряд Лорана, многомерное разностное уравнение. Обозначим через Z множество целых чисел и через Zn = Z × · · · × Z — n-мерную целочисленную решетку. Пусть Zn+ — подмножество этой решетки, состоящее из точек с целыми неотрицательными координатами, и A = {α} ⊂ Zn+ — некоторое фиксированное конечное множество таких точек. Разностным уравнением (относительно неизвестной функции f : Zn+ → C) назовем соотношение вида X cα f (x + α) = 0, x ∈ Zn+ , (1) α∈A где cα — (постоянные) коэффициенты уравнения. Характеристическим P многочленом для разностного уравнения (1) назовем многочлен cα z α =: P (z), где z α = z1α1 . . . znαn , а z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn . α∈A Характеристическим множеством для разностного уравнения (1) назо- вем множество V = {z ∈ Cn : P (z) = 0} нулей характеристического многочлена. Для n = 1 известно (см. , например, [1]), что всякое решение уравнения (1) является линейной комбинацией решений вида xs λx , s = 0, . . . , k − 1, где λ ∈ V — корень характеристического многочлена кратности k. Следовательно, пространство решений уравнения (1) конечномерно, и его размерность равна степени m характеристического многочлена P (порядку уравнения). Кроме того, очевидно, что всякое решение уравнения (1) полностью опреде- ляется своими значениями f (x) = φx в «начальных» точках x = 0, 1, . . . , m − 1. Для n > 1 ситуация значительно сложнее, так как пространство решений бесконечномерно и вопрос о множестве, на котором следует задавать «началь- ные» значения решений, представляется не столь очевидным (так же, как и вопрос от том, что считать порядком разностного уравнения). Отметим, что многомерные разностные уравнения (рекуррентные соотношения) возникают в комбинаторном анализе [2], а также при дискретизации дифференциальных уравнений (см. , например, [3]). Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 05–01–00517). c 2007 Лейнартас Е. К. 336 Е. К. Лейнартас В [4] дано описание пространства решений уравнения (1) с использовани- ем таких понятий, как многогранник Ньютона и амеба характеристического многочлена. В данной работе определяется множество Znm , на котором задают- ся «начальные» значения, формулируется задача Коши для уравнения (1) и с учетом понятия фундаментального решения дается решение этой задачи.