Читать онлайн «Асимптотически нормальное оценивание параметра в задаче дробно-линейной регрессии»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2000. Том 41, № 1 УДК 519. 23. 5 АСИМПТОТИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРА В ЗАДАЧЕ ДРОБНО–ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ Ю. Ю. Линке, А. И. Саханенко Аннотация: Рассматривается задача оценивания неизвестного параметра в схеме нелинейной регрессии, когда независимые наблюдения X1 , X2 , . . . представимы в виде Xi = ai /(1 + bi θ) + σi ξi , где значения ai > 0 и bi > 0 предполагаются известными. Построена некоторая двухшаговая процедура, позволяющая найти асимптотически нормальную оценку неизвестного параметра θ > 0 без использования метода наименьших квадратов. Библиогр. 4. § 1. Введение Пусть в результате некоторого эксперимента наблюдается последователь- ность независимых случайных величин X1 , X2 , . . . , XN , относительно которых предполагается, что для любого i справедливо представление ai Xi = + σi ξi , (1. 1) 1 + bi θ где ξ1 , . . . , ξN — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, удовлетворяющих условию Eξi = 0, Dξi = 1. (1. 2) При этом считается, что значения ai > 0 и bi > 0 известны, а значения парамет- ра θ и дисперсий DXi ≡ σi2 неизвестны. Также предполагаются неизвестными и значения случайных величин ξ1 , . . . , ξN . В работе исследуется задача оценивания неизвестного параметра θ > 0 по наблюдениям X1 , . . . , XN . Эта задача является частным случаем задачи нели- нейной регрессии, которая обычно решается методом наименьших квадратов или его модификациями. Часто при приближенном поиске оценки используют- ся методы линеаризации, наискорейшего спуска и другие (см. , например, [1]), реализация которых требует применения вычислительной техники ввиду боль- шого числа итераций. Однако оказалось, что при решении задачи дробно-линейной регрессии ви- да (1. 1) простая оценка P ∗ ci (ai − Xi ) θ = P (1. 3) ci bi Xi является асимптотически нормальной при достаточно широких предположени- ях о постоянных {ci }. А в случае, когда известна некоторая информация о c 2000 Линке Ю. Ю. , Саханенко А. И. Асимптотически нормальное оценивание параметра 151 поведении дисперсий {σi }, можно подобрать такие функции {γi (θ)}, что «улуч- шенная» оценка γi (θ∗ )(ai − Xi ) P ∗∗ θ = P (1. 4) γi (θ∗ )bi Xi будет в некотором смысле асимптотически эффективной.