Читать онлайн «Оценка устойчивости решения в обратной задаче определения коэффициентов при младших производных»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2002. Том 43, № 3 УДК 517. 958 ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ МЛАДШИХ ПРОИЗВОДНЫХ В. Г. Романов Аннотация: Рассматривается задача об определении коэффициентов при первых производных в гиперболическом уравнении второго порядка. В качестве информа- ции задается след решения вместе с его нормальной производной на боковой поверх- ности цилиндрической области некоторой прямой задачи для исходного уравнения. Импульсный точечный источник расположен вне области, в которой подлежат опре- делению искомые коэффициенты, и является параметром задачи. Предполагается, что число источников, для которых задается след решения, совпадает с числом определяемых коэффициентов. Основной результат работы — оценка устойчиво- сти решения рассматриваемой обратной задачи. Библиогр. 5. § 1. Постановка задачи и основной результат Пусть Ω — компактная область в R3 с кусочно-гладкой границей ∂Ω и σ, b = (b1 , b2 , b3 ) — гладкие функции, носитель которых содержится в Ω. Пусть, далее, функция u = u(x, t), x ∈ R3 , является решением следующей задачи Коши: utt − ∆u + σ(x)ut + b(x) · ∇u = δ(x − y)δ(t), u|t<0 ≡ 0, (x, t) ∈ R4 . (1. 1) Здесь δ(x − y) — дельта-функция Дирака, сосредоточенная в точке y ∈ R3 , лежащей вне Ω. Точка y — параметр задачи, т. е. u = u(x, t, y). При фиксированной точке y обозначим G(T, y) = {(x, t) | x ∈ Ω, |x − y| < t < |x − y| + T }, S(T, y) = {(x, t) | x ∈ ∂Ω, |x − y| < t < |x − y| + T }, Στ (y) = {(x, t) | x ∈ Ω, t = |x − y| + τ }, где τ ∈ [0, T ] и T > 0. Пусть y (i) , i = 1, 2, 3, 4, — различные точки, лежащие вне Ω и удовлетворяющие некоторому дополнительному условию, о котором будет сказано ниже. Предположим, что следы решения задач (1. 1) при y = y (i) известны на S(T, y (i) ) для всех i вместе с их нормальными производными, т. е. заданы функции ∂ u(x, t, y (i) ) = fi (x, t), u(x, t, y (i) ) = gi (x, t), (x, t) ∈ S(T, y (i) ), i = 1, 2, 3, 4, ∂n (1. 2) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 02–01–00818) и Министерства образования РФ (проект № 2000. 1. 73). c 2002 Романов В. Г. Оценка устойчивости решения 703 где n — внешняя нормаль к ∂Ω. Рассмотрим обратную задачу: найти коэффи- циенты σ, b = (b1 , b2 , b3 ) в Ω по заданной информации (1. 2). Отметим, что в подобной формулировке ранее изучались обратные задачи об определении одного из коэффициентов, стоящего либо при младшем члене линейного гиперболического уравнения (см. [1, 2]), либо при операторе Лапласа [3].