Читать онлайн «О позитивных и критических теориях некоторых классов колец»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2000. Том 41, № 2 УДК 512:519. 4 О ПОЗИТИВНЫХ И КРИТИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ КОЛЕЦ Ю. М. Важенин, В. Ю. Попов Аннотация: Доказано совпадение позитивных теорий полиоднородного многооб- разия колец, класса всех конечных колец из него и свободного в нем кольца счет- ного ранга. Дано описание критических теорий классов всех конечных йордановых и лиевых колец. Библиогр. 27. Пусть K — некоторый класс алгебраических систем сигнатуры σ, P — по- зитивный σ-язык, PK — позитивная теория класса K. Изучению теории PK и ее подтеорий для различных классов K посвящен целый ряд работ. Так, в [1] доказана разрешимость позитивной теории свободной полугруппы счетного ранга. В работе [2] отмечена разрешимость элементарных теорий полугрупп, свободных в конечно-базируемых многообразиях полугрупп, удовлетворяющих перестановочному тождеству, откуда непосредственно вытекает разрешимость позитивных теорий соответствующих многообразий. В обзоре Л. А. Бокутя [3] поставлен вопрос о разрешимости позитивной теории свободных ассоциативных (лиевых) алгебр (конечного ранга, бесконечного ранга, с единицей, без едини- цы). Г. С. Маканин в [4] доказал разрешимость проблемы совместности систем уравнений в свободной полугруппе, т. е. разрешимость ∃∧-теории этой полу- группы. Для свободных ассоциативных (лиевых) колец проблема совместности систем уравнений, как показал в [5] В. А. Романьков, неразрешима. В работах [6–11] доказана неразрешимость проблемы совместности систем уравнений для ряда других свободных колец. В указанном выше обзоре [3] поставлен вопрос о разрешимости проблемы совместности систем уравнений в свободных ассоциа- тивных (лиевых) алгебрах над алгебраически замкнутым полем. Цель настоящей заметки — установить совпадение позитивных теорий не- которых важных классов колец и на основании этих результатов получить но- вую информацию о разрешимости теорий. Пусть X — произвольное многообразие колец, заданное полиоднородными тождествами [12]. Обозначим через X ∩ F класс всех конечных колец из мно- гообразия X. Пусть F X — кольцо счетного ранга, свободное в многообразии X, Nk — многообразие всех k-нильпотентных колец характеристики k, Fl — кольцо ранга l, свободное в многообразии X∩Nk . В дальнейшем свободные образующие колец мы будем обозначать элементами множества {e1 , . . . , ep , . . . }. Теорема 1. Позитивные теории кольца F X, многообразия X и класса X∩F совпадают. Пусть Y — произвольное многообразие полугрупп, групп, колец или алгебр над полем, F Y — полугруппа (группа, кольцо, алгебра) счетного ранга, свобод- ная в многообразии Y, Y ∩ F — класс всех свободных полугрупп (групп, колец, c 2000 Важенин Ю. М. , Попов В. Ю. О позитивных и критических теориях 279 алгебр) из многообразия Y. Обозначим через L множество предложений вида ∀~x(f1 (~x) = g1 (~x) ∧ · · · ∧ fm (~x) = gm (~x) → f0 (~x) = g0 (~x)).