Читать онлайн «Колебательные процессы: Пособие по выполнению домашнего задания»

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ Основные теоретические сведения Колебаниями называются процессы, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости во времени. Простейшим колебательным движением является гармоническое, т. е. такое колебание, при котором какая-либо характе- ристика системы (например, координата грузика на пружинке, угол отклонения маятника и т. п. ) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Такая система называется гармоническим осциллятором и реализуется, если соот- ветствующее рассматриваемой модели уравнение динамики (например, второй закон Ньютона или основное уравнение динамики вращательного движения) можно привести к виду d 2x 2 + ω02 x = 0 , (1) dt где под x понимается упомянутая выше характеристика системы. Общим реше- нием дифференциального уравнения (1) является уравнение гармонических ко- лебаний x = A. cos(ω0t+ϕ0) (2) где A - амплитуда, (ω0 t+ϕ0) - фаза, ϕ0 - начальная фаза колебаний. Значения A и ϕ0 определяются из начальных условий, т. е. по значениям отклонения x0 и скорости V0 в начальный момент времени. Входящий в это уравнение параметр колебательного процесса ω0, называемый циклической частотой собственных колебаний (или собственной частотой), связан с периодом T и частотой ν ко- лебаний соотношением 2π ω0 = = 2πν . (3) T Собственная частота зависит от свойств колеблющейся системы. Напри- мер, при малых колебаниях математического маятника она выражается через ускорение свободного падения g и длину маятника l r A g ω0 ω0 = , (4) l при малых колебаниях грузика на пружине φ0 она выражается через его массу m и коэф- фициент упругости пружины k 0 xo x k ω0 = . (5) Рис. 1. Векторная диаграмма m В случае негармонических колебаний величина ω = 2π/Т = 2πν называется круговой или циклической частотой сис- темы. Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний  2 одинакового направления, значительно облегчается, если воспользоваться ме- тодом векторных диаграмм. Этот метод основан на том, что при вращении r вектора A с угловой скоростью ωо его проекция на ось Ox будет изменяться по гармоническому закону x = Acos(ωоt+ϕo) (рис. 1).