Читать онлайн «О функциях, коммутирующих с полугруппами преобразований алгебр»

Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2000. Том 41, № 6 УДК 519. 48 О ФУНКЦИЯХ, КОММУТИРУЮЩИХ С ПОЛУГРУППАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ АЛГЕБР А. Г. Пинус Аннотация: Указаны индуктивные определения функций, коммутирующих на ко- нечных алгебрах с полугруппами эндоморфизмов и группами автоморфизмов этих алгебр и сохраняющих подалгебры. Изучаются свойства этих функций и их сово- купностей. Библиогр. 8. В работах [1, 2] автора определены понятия условного и позитивно услов- ного термов, связанные с понятиями программ вычислений в универсальных алгебрах. В ряде дальнейших работ (обзор результатов см. в [3]) выявлены интересные алгебраические свойства условно термальных и позитивно условно термальных функций. В частности, доказано, что условно и позитивно услов- но термальные функции на конечных алгебрах (равномерно локально конеч- ных алгебрах конечной сигнатуры) суть функции, коммутирующие с полугруп- пами внутренних изоморфизмов, соответственно внутренних гомоморфизмов этих алгебр. Цель настоящей работы — нахождение аналогичного описания для функций, коммутирующих с другими естественными полугруппами преоб- разований универсальных алгебр. Напомним соответствующие определения из работ [1, 2]. определение 1. Условием сигнатуры σ (позитивным условием) назовем систему  1  t1 (x̄) =i1 t21 (x̄)  T (x̄) = ... ... ... ... . .  t1n (x̄) =in t2n (x̄)  уравнений и неравенств (уравнений) между термами сигнатуры σ. Здесь tij (x̄) — термы сигнатуры σ, ij ∈ {0, 1} (соответственно ij = 1) и =0 — неравенство 6=, а =1 — равенство =. Определение 2. Полной системой условий сигнатуры σ назовем конеч- ное множество условий {T1 (x̄), . . . , Tk (x̄)} данной сигнатуры такое, что k ! _ ` ∀x̄ Ti (x̄) и ` ∀x̄ ¬(Ti (x̄) & Tj (x̄)) i=1 при i 6= j. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 99–01–00571). c 2000 Пинус А. Г. 1410 А. Г. Пинус Определение 3. Условные термы сигнатуры σ определяются индукцией по их длине: (а) любая переменная и константа сигнатуры σ является условным термом сигнатуры σ; (б) если t1 (x̄), . . . , tl (x̄) — условные термы сигнатуры σ и f (x1 , . . . , xl ) ∈ σ, то f (t1 (x̄), . . . , tl (x̄)) — условный терм сигнатуры σ; (в) если t1 (x̄), . . . , tk (x̄) — условные термы сигнатуры σ, а {T1 (x̄), . . . , Tk (x̄)} — полная система условий этой сигнатуры, то  T1 (x̄) → t1 (x̄)   t(x̄) = ... ... ... ... . .