Читать онлайн «Об элементарной эквивалентности решеток подалгебр и групп автоморфизмов свободных алгебр»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2008. Том 49, № 4 УДК 512. 565. 7 ОБ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ РЕШЕТОК ПОДАЛГЕБР И ГРУПП АВТОМОРФИЗМОВ СВОБОДНЫХ АЛГЕБР А. Г. Пинус Аннотация. Найден критерий элементарной эквивалентности решеток подалгебр свободных алгебр регулярных многообразий. Рассмотрен вопрос об элементарной эквивалентности групп автоморфизмов подобных алгебр. Ключевые слова: решетка подалгебр, группа автоморфизмов, свободная алгеб- ра, регулярное многообразие, унар. Вопрос о классификации алгебраических систем с помощью их производ- ных структур и элементарных теорий производных структур достаточно есте- ствен и традиционен. Более подробно обсуждение этих вопросов и обзор из- M вестных результатов см. в [1]. В частности, представляет интерес исследование отношений ≡Sub на классе всех конечных кардиналов для различных многооб- M разий M универсальных алгебр. Напомним, что для бесконечных кардиналов k, λ отношение k ≡Sub λ имеет место тогда и только тогда, когда элементарно эквивалентны решетки Sub FM(k) и Sub FM(λ), где Sub A — решетка подал- гебр алгебры A, а FM (X) — свободная M-алгебра, свободно порожденная множеством X. Всюду далее рассматриваются многообразия не более чем счетной сигна- туры. В обзоре [1] указан ряд многообразий M , для которых отношение ≡Sub M M M совпадает с отношениями O либо ≡2 , и отмечен ряд многообразий , описание отношения ≡Sub для которых представляет естественный интерес. Здесь O — универсальное (единичное) отношение эквивалентности на классе бесконечных кардиналов, а ≡2 — отношение эквивалентности бесконечных кардиналов в пол- ной логике второго порядка. В настоящей работе получено некоторое усиление результата из [2], позволяющее дать ответ на один из вопросов работы [1]: бу- M M дут указаны достаточные условия на многообразие ≡Sub совпадает с отношением ≡2 . , при которых отношение В качестве первого условия на многообразие Mрассмотрим следующее: (1) существует элементарная формула ψ(u) решеточной сигнатуры такая, что для любого B ∈ Sub FM (X) SubFM (X) |= ψ(B) ⇐⇒ B = hxi для некоторого x ∈ X. Для любой алгебры A = hA; σi и любого C ⊆ A через hCi обозначим подалгебру алгебры A , порожденную множеством C. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 06–01–00159–а). c 2008 Пинус А. Г. 866 А.