Читать онлайн «Лекции по аналитическои геометрии»

1 Векторные пространства Определение 1. 1. Множество V вместе с операциями + : V х V ^ V (сложение) и • : М х У ^ У (умножение на число) называется (вещественным) векторным пространством^ если выполнены следующие аксиомы. 1. V + {и + w) = {v + и) + W \fv, u,w eV (ассоциативность сложения) 2. v + u = u + v\/v^u^V (коммутативность) 3. 3\0eV :v + 0 = v\/v eV (ноль) 4. \fveV3\ — veV:v + {—v) = 0 (существование обратного) 5. {a + b)-v = a-v + b-v \fa, 6 G M, Уг; G У (дистрибутивность I) 6. (ab) •v = a-{b-v) Va, 6 G M, Уг; G У (ассоциативность умножения на число) 7. а • {v + и) = а • V + а • и\/а eR^\fv,u eV (дистрибутивность Н) 8. 1 • V = V \/v ^V (унитарность) Элементы векторного пространства (в. п. ) называются векторами. Замечание. Единственность нуля и обратного следует из остальных аксиом. Примеры. У = R — вещественная прямая является в. п. Множ:ество >С(Х, V) отображ:епий произвольного множ:ества X в в. и. V является в. и. , если определить слож:ение п умнож:ение на число естественным образом. А именно, У/^д G >С(Х, У), Va G М, Vx G X считать, что [/ + д]{х) = f{x) + д{х), [а • f]{x) = а • /(х). В случае, когда X = {1, 2,... , п}, в. и. >С(Х, V) называется координатным п-мерным пространством и обозначается М^. Предлолсение 1. 2. Пусть V — ем,, тогда L О • г; = О Уг; G У 2, (-1) 'V = -v\/v ^V 3, Равенство а - v = О означает, что либо а = О, либо v = О 4' Для любого набора чисел {а^}^=1 С М п любого набора векторов {^г}7=1 ^ ^ однозначно определен вектор п V = ai ' vi + а2 ' V2 + ... + an ' Vn = ^^ai ' Vi, называемый линейной комбинацией векторов {vi} с коэффициентами {ai}. Доказательство. 1. Прибавив к обеим частям полученного равенства О - v + v = v вектор —v (существующий по четвертой аксиоме) получим искомое равенство. 2. В силу единственности обратного, утверждение следует из выкладки (—1) • V + V = (—1) • V + 1 • V = (—1 + 1) • г; = о • г; = 0. Далее мы будем писать V — и вместо г; + (—1) • г^. 3. Пусть а ' V = 0. Если а = О, то доказывать нечего. Пусть а ^ О, Заметим, что а • О = 0^. Поэтому v = 1 • v = а~^ • {а • v) = а~^ -0 = 0. 4. Положим ai ' Vi = щМг ^ 1^п, Определим сумму г G N векторов так: г ^ t^i = ((... ((г^! + U2) + г^з) + • • •) + ^r-i) + Ur^ г=1 Покажем, что к I I г=1 г=/с+1 г=1 ДЛЯ любого набора векторов {wi\ С У и натуральных чисел fc, / G N. Проведем индукцию. Для / = 3 это — первая аксиома. Индукционный шаг: /-1 /-1 I Ui, г=1 г=/с+1 г=1 г=/с+1 г=1 г=1 ^Щ+ ^ Щ = ^Щ+ ^ Щ + Щ = ^Щ + Щ = ^' Доказанное равенство говорит о произвольности расстановки скобок в сумме ^^ щ^ а значит — о ее определенности. П Определение 1. 3. Пусть V — в. п. Подмножество [/ С У называется линейным подпространством (лпн. Нолож:им но определению V* = {fe CiV, Ж): f{v + a-u) = f{v) + af{u)}. Легко видеть, что У* — лин. и/и. в в. и. V, Оно называется еопряэюенным пространством пространству V, Пространство С([0,1]) непрерывных функций на отрезке [0,1] является лин.