1 Векторные пространства
Определение 1. 1. Множество V вместе с операциями + : V х V ^ V
(сложение) и • : М х У ^ У (умножение на число) называется
(вещественным) векторным пространством^ если выполнены следующие
аксиомы.
1. V + {и + w) = {v + и) + W \fv, u,w eV (ассоциативность сложения)
2. v + u = u + v\/v^u^V (коммутативность)
3. 3\0eV :v + 0 = v\/v eV (ноль)
4. \fveV3\ — veV:v + {—v) = 0 (существование обратного)
5. {a + b)-v = a-v + b-v \fa, 6 G M, Уг; G У (дистрибутивность I)
6. (ab) •v = a-{b-v) Va, 6 G M, Уг; G У (ассоциативность умножения на
число)
7. а • {v + и) = а • V + а • и\/а eR^\fv,u eV (дистрибутивность Н)
8. 1 • V = V \/v ^V (унитарность)
Элементы векторного пространства (в. п. ) называются векторами. Замечание. Единственность нуля и обратного следует из остальных
аксиом. Примеры. У = R — вещественная прямая является в. п. Множ:ество >С(Х, V) отображ:епий произвольного множ:ества X в в. и. V является в. и. , если определить слож:ение п умнож:ение на число
естественным образом. А именно, У/^д G >С(Х, У), Va G М, Vx G X считать,
что
[/ + д]{х) = f{x) + д{х), [а • f]{x) = а • /(х). В случае, когда X = {1, 2,... , п}, в. и. >С(Х, V) называется
координатным п-мерным пространством и обозначается М^. Предлолсение 1. 2. Пусть V — ем,, тогда
L О • г; = О Уг; G У
2, (-1) 'V = -v\/v ^V
3, Равенство а - v = О означает, что либо а = О, либо v = О
4' Для любого набора чисел {а^}^=1 С М п любого набора векторов
{^г}7=1 ^ ^ однозначно определен вектор
п
V = ai ' vi + а2 ' V2 + ...
+ an ' Vn = ^^ai ' Vi,
называемый линейной комбинацией векторов {vi} с
коэффициентами {ai}. Доказательство. 1. Прибавив к обеим частям полученного
равенства О - v + v = v вектор —v (существующий по четвертой аксиоме)
получим искомое равенство.
2. В силу единственности обратного, утверждение следует из
выкладки (—1) • V + V = (—1) • V + 1 • V = (—1 + 1) • г; = о • г; = 0. Далее мы будем
писать V — и вместо г; + (—1) • г^.
3. Пусть а ' V = 0. Если а = О, то доказывать нечего. Пусть а ^ О,
Заметим, что а • О = 0^. Поэтому v = 1 • v = а~^ • {а • v) = а~^ -0 = 0.
4. Положим ai ' Vi = щМг ^ 1^п, Определим сумму г G N векторов
так:
г
^ t^i = ((... ((г^! + U2) + г^з) + • • •) + ^r-i) + Ur^
г=1
Покажем, что
к I I
г=1 г=/с+1 г=1
ДЛЯ любого набора векторов {wi\ С У и натуральных чисел fc, / G N. Проведем индукцию. Для / = 3 это — первая аксиома. Индукционный
шаг:
/-1 /-1 I
Ui,
г=1 г=/с+1 г=1 г=/с+1 г=1 г=1
^Щ+ ^ Щ = ^Щ+ ^ Щ + Щ = ^Щ + Щ = ^'
Доказанное равенство говорит о произвольности расстановки скобок
в сумме ^^ щ^ а значит — о ее определенности. П
Определение 1. 3. Пусть V — в. п. Подмножество [/ С У называется
линейным подпространством (лпн. Нолож:им но определению
V* = {fe CiV, Ж): f{v + a-u) = f{v) + af{u)}. Легко видеть, что У* — лин. и/и. в в. и. V, Оно называется еопряэюенным
пространством пространству V,
Пространство С([0,1]) непрерывных функций на отрезке [0,1]
является лин.