Читать онлайн «Основы алгебры тензоров»

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации ––––––––––––– САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Ю. А. Андрианов ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство СПбГТУ 1998 УДК 514. 743 Андрианов Ю. А. Основы алгебры тензоров. Учеб. пособие. СПб. : Изд-во СПбГТУ, 1998. 28 с. Пособие соответствует государственному образовательному стандарту дисцип- лины «Линейная алгебра» направления бакалаврской подготовки 510100 «Математи- ка». Рассмотрены основные понятия алгебры тензоров, операции над тензорами, при- меры тензоров. Главное внимание уделено связям тензоров с другими понятиями ал- гебры. Предназначено для студентов младших курсов физико-механического факульте- та, изучающих дисциплину «Линейная алгебра» в рамках бакалаврской подготовки. Табл. – . Ил. 1. Библиогр. : 9 назв. Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт- Петербургского государственного технического университета.  Санкт-Петербургский государственный технический университет, 1998 2  ВВЕДЕНИЕ Изучение тензоров входит в программу по математике, разработанную для студентов-физиков Санкт-Петербургского государственного технического уни- верситета. При этом основные понятия алгебры тензоров используются в раз- личных физических дисциплинах, начиная со второго семестра. Тензорная алгебра – это последняя глава курса линейной алгебры, читаемо- го студентам-физикам, так как важнейшими примерами тензоров служат векто- ры, линейные и нелинейные функции, а также операторы, определённые на век- торном пространстве. Однако из-за малого количества часов, отводимого на линейную алгебру, преподаватель часто не успевает уделить достаточного вни- мания этой важной теме. При этом возникает потребность в учебном пособии, максимально приближенном к остальным разделам читаемого курса. Настоящая работа предназначена для первокурсников и представляет собой расширенный вариант лекций на тему «тензоры». Изложение подробное и замк- нутое. Мы приводим нужные сведения из линейной алгебры и теории евклидо- вых пространств. Студенты могут использовать эти лекции для самостоятель- ного ознакомления с предметом. Пособие содержит также задачи для контроля усвоения материала. В конце помещён список литературы для дальнейшего углублённого изучения свойств тензоров. §1. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ИНДЕКСЫ. СОГЛАШЕНИЕ О СУММИРОВАНИИ 1°. Сводка используемых в дальнейшем результатов из линейной алгебры Всюду в дальнейшем будем обозначать буквой V заданное векторное про- странство размерности n над полем K ; v1, K , v n – базис V , и v1′, K , v n′ – не- который другой базис V . Каждый из векторов v1′, K , v n′ можно единственным образом разложить по базису v1, K , v n : v1′ = c11v1 + c12 v2 + K + c1n v n , v2′ = c21v1 + c22 v2 + K + c2 n v n , (1) . . . . . . . . . . . .