Читать онлайн «Методы решения задач по курсу ''Линейная алгебра и геометрия'': Учебное пособие»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии И. В. КУЛАГИНА, А. Н. ПАНОВ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ”ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ” Учебное пособие Издательство "Самарский университет" 2006  Печатается по разрешению Редакционно-издательского совета Самарского государственного университета УДК 512 ББК 22. 143 П 165 Рецензент: канд. физ. -мат. наук, доц. Т. В. Азовская И. В. Кулагина, Панов А. Н. Методы решения задач по курсу "Линейная алгебра и геометрия": Учебное пособие, Самара: Издательство "Самарский университет", 2006, с. 54. Данное пособие предназначено для студентов 2 курса специальности "Ма- тематика". В пособии разобраны наиболее важные задачи курса "Линейная алгебра и геометрия". Распределение материала соответствует плану лабора- торные занятий по этому курсу и пособию А. Н. Панова "Задачи по линейной алгебре и геометрии". Наибольшее внимание уделено следующим темам: на- хождение жордановой формы матрицы и жорданова базиса, классификация кривых и поверхностей второго порядка, классификация движений на плос- кости и в пространстве. Пособие может быть использовано для студентов специальностей "Прикладная математика", "Компьютерная безопасность "и "Механика". c Самарский государственный университет, 2006 c Издательство "Самарский университет", 2006 c Кулагина И. В. , Панов А. Н. , 2006 2 §1 Симметрические многочлены Многочлен от нескольких переменных называется симметрическим много- членом, если он не меняется при всех перестановках своих переменных. Многочлены σ1 = x1 + . . . + xn , σ2 = x1 x2 + . . . + xn−1 xn , ... σn = x1 x2 . . . xn называются элементарными симметрические многочленами. Основная теоре- ма о симметрических многочленах утверждает, что всякий симметрический многочлен над произвольным полем K выражается через элементарные сим- метрические многочлены, причем это можно сделать единственным образом. Приведём точную формулировку основной теоремы о симметрических мно- гочленах. Теорема 1. 1. 1) Для любого симметрического многочлена f (x1 , . . . , xn ) существует много- член g(y1 , . . . , yn ) такой, что f (x1 , . . . , xn ) = g(σ1 , . . . , σn ), 2) многочлен g(y1 , . . . , yn ) находится по исходному симметрическому много- члену f (x1 , . . . , xn ) однозначно. Рассмотрим несколько стандартных задач на эту теорему. Задача 1. 2. Выразить симметрический многочлен f (x1 , x2 , x3 ) = x41 x2 + x42 x1 + x41 x3 + x43 x1 + x42 x3 + x43 x2 через элементарные симметрические много- члены. Решение. Многочлен f (x1 , x2 , x3 ) является однородным симметрическим мно- гочленом суммарной степени 5. Наша цель – выразить f (x1 , x2 , x3 ) через эле- ментарные симметрические многочлены от 3-х переменных: σ1 = x1 + x2 + x3 , σ2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 .