Читать онлайн «Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 2»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений) Часть 2 • Иррациональные уравнения и неравенства • Показательные уравнения и неравенства • Логарифмические уравнения и неравенства Издание одиннадцатое, дополненное Москва 2014 ББК 22. 1 я 729 УДК 373. 3 Учебно-методическое пособие Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по мате- матике в МГУ и ЕГЭ. Часть 2. Иррациональные уравне- ния и неравенства. Показательные уравнения и неравенства. Ло- гарифмические уравнения и неравенства. Изд. 11-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова”. 2014. - 80 c. В пособии рассматриваются иррациональные урав- нения и неравенства, показательные уравнения и нера- венства, логарифмические уравнения и неравенства. Предпринята попытка систематизации видов встречаю- щихся задач и схем их решений. Схема решений уравне- ний определенного вида подобрана таким образом, что- бы решение было наиболее простым. К задачам даны ответы, а к некоторым ключевым задачам даны и ре- шения. Предназначено для абитуриентов МГУ, выпускни- ков школ при подготовке к ЕГЭ, для слушателей под- готовительных отделений и курсов, учащихся матема- тических классов. Рецензент: д. ф. -м. н. , Богатый С. А. 1702070000 − 08 Г Без объявл. 3Ш7(03) − 02 ISBN 5-87597-024-3 ⃝ c Галеев Э. М. , 2014 г. ⃝ c Издательство “Попечительский совет мех-мат. ф-та МГУ”, 2014 г. Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . 7 √ 5. 1 Уравнения вида f = g . . . . . . . . . . . . 8 √ √ 5. 2 Уравнения вида f = g . . . . . . . . . . . 10 5. 3 Уравнения c несколькими отдельно стоящи- ми корнями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5. 4 Уравнения на замену переменных . . . . . . . 12 5. 5 Выделение полного квадрата в подкоренных выражениях . . . . . . . . . √ . . . . . . . . . . 14 √ √ 5. 6 Уравнения вида 3 f + 3 g = 3 h . . . . . . . . 14 5. 7 Нестандартные уравнения . . . . . . . . . . . 15 5. 8 Вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5. 9 Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 Иррациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . 21 √ 6. 1 Неравенства вида f < g . . . . . . . . . . . 21 √ 6. 2 Неравенства вида f > g . . . . . . . . . . . 22 √ √ 6. 3 Неравенства вида f > g . . . . . . . . . . 25 6. 4 Неравенства с несколькими корнями . . . . . 25 6. 5 Дробно-рациональные неравенства . . . . . . 27 6. 6 Неравенства на замену переменных . . . . . . 29 6. 7 Нестандартные неравенства . . . . . . . . . . 30 6. 8 Системы неравенств . . . . . . . . . . . . . . . 31 7 Показательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 32 7. 1 Уравнения с постоянным основанием . . . . . 32 7. 2 Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . 34 7. 3 Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . 35 3 4 7. 4 Уравнения вида f g = f h . . . . . . . . . . . . 36 7. 5 Трансцендентные уравнения . . . . . . . . . . 37 7. 6 Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 38 8 Показательные неравенства . . . . . . . . . . . . . . 40 8. 1 Неравенства с постоянным основанием . . . . 40 8. 2 Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . 42 8. 3 Взаимно-обратные числа . . . . . . . . . . . . 43 8. 4 Разложение на множители . . . . . . . . . . . 43 8. 5 Однородные неравенства . . . . . . . . . . . . 44 8. 6 Неравенства вида f g > f h . . . . . . . . . . . 45 8. 7 Системы неравенств . . . . . . . . . . . . . . . 46 9 Логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . 47 9. 1 Уравнения c постоянным основанием . . . . . 48 9. 1. 1 Простейшие уравнения . . . . . . . . 48 9. 1. 2 Переход к одному основанию . . . . 49 9. 1. 3 Повторные логарифмы . . . . . . . . 50 9. 2 Уравнения c переменным основанием . . . . 50 9. 3 Задачи на вычисления . . . . . . . . . . . . . 51 9. 4 Показательно-логарифмические уравнения ви- да f g = f h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9. 5 Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 54 10 Логарифмические неравенства . . . . . . . . . . . . . 56 10. 1 Неравенства с постоянным основанием . . . . 56 10. 1. 1 Простейшие неравенства . . . . . . . 56 10. 1. 2 Повторные логарифмы . . . . . . . . 57 10. 1. 3 Замена переменных . . . . . . . . . . 58 10. 1. 4 Переход к одному основанию . . . . 60 10. 1. 5 Разные задачи . . . . . . . . . . . . . 61 10. 2 Неравенства с переменным основанием . . . 64 10. 3 Показательно-логарифмические неравенства 66 10. 4 Трансцендентные неравенства . . . . . . . . . 68 10. 5 Системы неравенств . . . . . . . . . . . . . . . 68 Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Предисловие В пособии рассматриваются иррациональные уравнения и нера- венства, показательные уравнения и неравенства, логарифмиче- ские уравнения и неравенства.