Читать онлайн «Инварианты отношения рациональной эквивалентности»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2000. Том 41, № 2 УДК 519. 48 ИНВАРИАНТЫ ОТНОШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ А. Г. Пинус Аннотация: Описаны теоретико-множественные инварианты отношения рацио- нальной эквивалентности между многообразиями универсальных алгебр. В тер- минах этих инвариантов описаны многообразия, рационально эквивалентные мно- гообразию булевых алгебр. Библиогр. 4. Моему учителю Юрию Леонидовичу Ершову с глубокой благодарностью Отношение рациональной эквивалентности многообразий и отдельных ал- гебр играет важную роль в вопросах универсальной алгебры. По сути де- ла рациональная эквивалентность двух классов алгебр означает одинаковое «алгебраическое устройство» этих классов. Это было подтверждено теоремой А. И. Мальцева [1], описывающей рациональную эквивалентность многообразий как совпадение соответствующих категорий. Напомним формулировку этого результата и определения основных понятий, связанных с этим вопросом. Определение 1. Классы K1 алгебр сигнатуры σ1 и K2 сигнатуры σ2 на- зывают рационально эквивалентными, если существуют отображения F1 (F2 ), сопоставляющие символам сигнатуры σ1 термы сигнатуры σ2 (символам сиг- натуры σ2 — термы сигнатуры σ1 ) с сохранением арности (числа аргументов функции f ∈ σi и терма Fi (f ) совпадают) и такие, что а) для любой K1 -алгебры A = hA; σ1 i алгебра F2 (A ) = hA; σ2 i входит в класс K2 , здесь σ2 -операции алгебры F2 (A ) определяются на A соответствую- щими F2 (σ2 )-термами алгебры A ; б) для любой K2 -алгебры A = hA; σ2 i алгебра F1 (A ) = hA; σ1 i входит в класс K1 ; в) для любой K1 -алгебры имеет место равенство F1 (F2 (A )) = A ; г) для любой K2 -алгебры имеет место равенство F2 (F1 (A )) = A . Под рациональной эквивалентностью алгебр A1 и A2 имеем в виду рацио- нальную эквивалентность классов I{A1 } и I{A2 }. Здесь I{A } = {B | B ∼= A }. Определение 2. Для любого класса алгебр K через K ~ обозначим катего- рию, объектами которой являются K-алгебры, а морфизмами — гомоморфизмы K-алгебр друг в друга. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 96–01–01675). c 2000 Пинус А. Г. Инварианты отношения рациональной эквивалентности 431 Определение 3. Классы алгебр K1 и K2 назовем категорно эквивалент- ~1 на категорию K ными, если существует изоморфизм ϕ категории K ~2 , комму- ~ тирующий со стирающими функторами из категорий Ki в категорию множеств. Через FM (ℵ0 ) (FM (X)) обозначим M -свободную ℵ0 -порожденную (X- порожденную) алгебру для любого многообразия M . Теорема Мальцева. Для любых многообразий универсальных алгебр M1 и M2 следующие условия равносильны: а) M1 и M2 рационально эквивалентны; б) алгебры FM1 (ℵ0 ) и FM2 (ℵ0 ) рационально эквивалентны; в) M1 и M2 категорно эквивалентны.