Читать онлайн «О необходимых и достаточных условиях на кривую для того, чтобы она являлась образом градиента С1-гладкой функции»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2007. Том 48, № 4 УДК 517. 95 О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ НА КРИВУЮ ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ОНА ЯВЛЯЛАСЬ ОБРАЗОМ ГРАДИЕНТА C 1 –ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ М. В. Коробков, Е. Ю. Панов Аннотация: Найдены необходимые и достаточные условия на плоскую кривую для того, чтобы она была множеством значений градиента C 1 -гладкой функции двух переменных. В качестве одного из следствий указаны необходимые и доста- точные условия на непрерывную функцию ϕ для существования  ∂v  нетривиальных C 1 -гладких решений дифференциального уравнения ∂v ∂t = ϕ ∂x . Ключевые слова: C 1 -гладкая функция, множество значений градиента, кривая. Введение Используя метод выпуклого интегрирования, предложенный М. Громо- вым [1], ряд математиков (Болл, Мюллер, Шверак, Кирхейм и др. , см. , напри- мер, [2]) изучали следующую проблему: каким условиям должно удовлетворять множество K, чтобы дифференциальное соотношение ∇v ∈ K имело нетриви- альные липшицевы решения? Как указано в названии настоящей статьи, мы изучаем сходную проблему для C 1 -гладких (не только липшицевых) решений дифференциальных соотношений. Основным методом решения указанных задач в настоящей статье является теория изэнтропических решений дифференциальных уравнений, введенных в диссертации второго автора [3]. Отметим, что теоремы, полученные в настоя- щей статье, усиливают и обобщают некоторые теоремы из [4]. Кроме того, дока- зательство одного из основных утверждений статьи (теоремы 1. 4. 2) опирается на некоторый аналог теоремы Сарда для C 1 -гладких функций двух перемен- ных, доказанный в работе [5] (см. также теорему 2. 4 настоящей статьи). Наши результаты дают некоторую информацию об аналитических и гео- метрических свойствах множеств значений производных C 1 -гладких функций двух переменных. Геометрические свойства множеств значений производных дифференцируемых (негладких) функций в многомерном случае изучались ра- нее, например, в работах [6, 7]. Всюду в дальнейшем кривой мы называем непрерывное отображение γ : R  u → (γ1 (u), γ2 (u)) ∈ R2 . Если отображение γ : R → R2 непрерывно и инъ- ективно, то мы будем называть его также дугой. Символом ∇v обозначается Первый автор поддержан Российским фондом фундаментальных исследований (код про- екта 05–01–00482–а), грантом Фонда содействия отечественной науке для молодых кандида- тов и грантом Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН 2006. Второй автор поддержан Российским фондом фундаментальных исследований (код проекта 06–01–00289) и Немецким научно-исследовательским обществом (проект DFG No. 436 RUS 113/895/0-1).  c 2007 Коробков М. В. , Панов Е. Ю. 790 М. В. Коробков, Е.