Читать онлайн «Квазиконформные отображения, понижающие L p-норму»

Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2000. Том 41, № 5 УДК 517. 54 КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, ПОНИЖАЮЩИЕ Lp –НОРМУ С. Л. Крушкаль Аннотация: Построены нового типа квазиконформные деформации комплексной плоскости, которые конформны в заданных областях и не увеличивают норму го- ломорфных функций, принадлежащих, например, пространствам Харди H p , Берг- мана B p в круге и другим. Выполняются и другие заданные условия. Это уда- ется сделать, например, в случае четных натуральных значений p. Такие дефор- мации полезны при решении вариационных проблем в банаховых пространствах голоморфных функций. Библиогр. 2. Посвящается памяти М. А. Лаврентьева, одного из создателей теории квазиконформных отображений Стандартные методы решения вариационных проблем в банаховых про- странствах голоморфных функций в круге (как и в других областях на плос- кости) существенно используют интегральные представления этих функций по- средством соответствующих мер, и их применение обычно связано с большими трудностями (особенно когда задача допускает несколько локальных экстрему- мов). В данной работе предлагается другой подход, позволяющий во многих слу- чаях обходить такие трудности. Он основан на построении нового типа квази- конформных деформаций h комплексной плоскости C. Мы проиллюстрируем его на примере пространств Lp (E), E ⊂ C, и покажем, что существуют такие вариации h, что kh◦f kp ≤ kf kp для соответствующих f ∈ Lp (E) и выполняются некоторые другие заданные условия. Это удается сделать, например, в случае четных натуральных значений p. Положим Ap (E) = {f ∈ Lp (E) : f голоморфна на E}, kf kp = kf kAp , 1 < p < ∞, где E — кольцевая область, ограниченная некоторой кривой L ⊂ ∆ и единичной окружностью S 1 = ∂∆. Вырожденные случаи E = ∆ \ {0} и E = S 1 соответ- ствуют
пространствам Бергмана B p и Харди H p . Пусть еще d0 = (1, 0, . . . , 0) = dk ∈ Rn , а |x| обозначает евклидову норму в Rl . 0 ∞ c0k z k ∈ L2m ∩ L∞ (E) (c0j 6= 0, P Теорема. Для любой функции f0 (z) = j 0 ≤ j < n, m ∈ N) не являющейся полиномом степени
n1 ≤ n, существует число ε0 > 0 такое, что для всякой точки d0 = d0j+1 , . . . , d0n ∈ Cn−j и любого a ∈ R, удовлетворяющего неравенствам |d0 | ≤ ε, |a| ≤ ε, ε < ε0 , c 2000 Крушкаль С. Л. 1082 С. Л. Крушкаль найдется квазиконформный  автоморфизм h римановой сферы C,b который кон- формен в круге D0 = w : w − c00 < sup∆ |f0 | + |c00 | + 1 и удовлетворяет условиям (i) h(k) c00 = k!dk = k!