Читать онлайн «Лекции по математической физике»
Автор Ю. И. Попов
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики
(Технический университет)
Кафедра высшей математики
И. Ю. Попов
Лекции по математической физике
Учебное пособие
Санкт-Петербург
1998
УДК 517. 9
Попов И. Ю. Лекции по математической физике. - СПб, СПбГИТМО(ТУ), 1998, с. В пособии представлены основные элементы теории интегральных уравнений и
уравнений в частных производных математической физики. Изложение носит
характер конспекта лекций. Пособие предназначено для студентов отделения прикладной математики и информатики. Одобрено на заседании кафедры высшей математики 7 мая 1998 г. , протокол №6. Оглавление
1. Элементы теории операторов. 4
1. 1. Основные определения 4
1. 1. 1. Операторы 4
1. 1. 2. Обратные операторы 5
1. 1. 3. Ограниченные операторы 6
1. 1. 4. Симметрические и самосопряженные операторы 7
1. 2. Спектр и резольвента оператора 10
2. Интегральные уравнения. 13
2. 1. Ряд Неймана 13
2. 1. 1. Вырожденные ядра 14
2. 2. Ряды Фредгольма 15
2. 3. Диаграммная техника 17
2. 4. Характеристические значения 18
2. 4. 1. Союзные интегральные уравнения 19
2. 5. Интегральные уравнения с полярными ядрами 23
2. 6. Уравнения Вольтерра 24
2. 6. 1. Уравнения Вольтерра с разностным ядром 25
3. Уравнения математической физики 27
3. 1. Уравнение струны 27
3. 1. 1. Метод бегущих волн (Метод Даламбера, характеристик) 27
3. 1.
2. Метод стоячих волн (Фурье; разделение перменных) 30
3. 1. 3. Вынужденные колебания струны 31
3. 2. Уравнение теплопроводности 31
3. 3. Уравнение Лапласа 32
3. 4. Классификация уравнений в частных производных второго порядка 34
3. 4. 1. Случай двух переменных 34
3. 4. 2. Случай п переменных 36
3. 5. Теорема единственности для гиперболического уравнения 36
3. 6. Теорема единственности для параболического уравнения 37
3. 7. Функция Грина обыкновенного дифференциального оператора 38
3. 8. Аналитические свойства функции Грина как функции Л 41
3. 9. Формулы Грина 42
3. 10. Теория потенциалов 44
3. 10. 1. Объемный потенциал 44
3. 10. 2. Потенциалы простого и двойного слоев 47
3. 10. 3. Применение потенциалов для решения краевых задач 50
3. 11. Уравнения Гельмгольца 52
Глава 1. Элементы теории операторов,
В этой главе мы вспомним те элементы теории операторов, которые будут необходимы в дальней-
дальнейшем.
1. 1. Основные определения.
1. 1. 1. Операторы. Определение 1. Оператором называется отображение А : И ->¦ Q, где И, Q - гильбертовы простран-
пространства. Область определения оператора Т>{А) С Л - множество, на котором задано действие оператора;
область значений оператора И(А) = АТ>{А) с Q. Обычно мы будем иметь дело со случаем Л = Q. Определение 2. Операторы А\ и А2 называются равными, если:
1) V{A1)=V{A2);
2) Axf = A2f
Определение 3. Оператор А называется расширением А, а А - сужением А (обозначается A D А),
если:
1) V(A)DV(A);
2) Af = AfVf?V(A). Определение 4. Оператор А называется непрерывным в точке / G ТЭ{А), если Ve > 0 36 > 0 : V# G
V(A), \\f-g\\<8=>\\Af-Ag\\
