Читать онлайн «Теория вероятностей: Учебное пособие»

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т Т Е О РИ Я В Е РО Я Т Н О С Т Е Й Пособиед ля студ ентовпо специальностям010100 и 510100 В О РО Н Е Ж 2003  2 У твержд ено науч но-метод ич еск имсоветомматематич еск ого ф ак ультета ( 2 сентября 2003г . , проток ол№ 2 ) Составители: М их айлова И . В . Барк ова Л . Н . Пособие под готовлено на к аф ед ре уравнений в ч астны х производ ны х и теории вероятностей математич еск ого ф ак ультета В оронежск ого госуд арствен- ного университета. Рек оменд уется д ля студ ентов3 к урса д невного и 5 к урса веч ернего отд елений.  3 § 1. Э лементы к омбинаторик и. Ц ентральной зад ач ей к омбинаторной теории (к омбинаторик и) мож но сч итать зад ач у размещ ения (распред еления) объ ек тов в соответствии со специ- альны ми правилами. Е сли эти правила просты , то основны мвэтой зад ач еявля- ется под сч ет ч исла возможностей д ля осущ ествления иск омого размещ ения. Зад ач и так ого типа принято назы вать зад ач ами переч исления. Е сли жеправила распред еления объ ек тов сложны , то г лавной проблемой становится вопрос су- щ ествования так их распред елений и нах ожд ения метод ових осущ ествления. Н ас буд утинтересовать тольк о переч ислительны е зад ач и. В том случ ае, к огд а интересующ их насвариантовразмещ ения немного, мы можемвсеэти ва- рианты перебрать. В д ругих случ аях это невозможно из-за больш ог о ч исла ва- риантови тогд а на помощ ьприх од ятосновны еправила под сч ета: принципы (правила) сложения и умножения. Принцип суммы . Пусть множество А сод ержитп элементов, а множество B - k элементов, прич ем A I B = ∅ . Т огд а множество A U B сод ержитп + k элементов. Замеч ание 1. Е сли обознач ить A - ч исло элементов множества А , то в ф ормализованномвид еправило суммы можно сф ормулировать след ующ имоб- разом: если A < ∞, B < ∞, A I B = ∅, то A U B = A + B . Замеч ание 2. При реш ении зад ач уд обной бы ваетслед ующ ая ф ормули- ровк а: элементиз А или элементиз В мож но вы братьп + k ч исломспособов, гд е п - к олич ество способоввы братьэлементиз А , k – элементиз В . Принцип произвед ения. Пусть зад аны д ва множества A = {a1 ,... , an } иB = {b1 ,... , bk } . Т огд а д ек артово произвед ение C = A× B = {( a , b ) : a ∈ A,i = 1,... , n; b ∈ B , j = 1,... , k} i j i j сод ержит nk элемен- тов, т. е. A × B = A ⋅ B , если A < ∞, B < ∞. Под вод я итог ск азанному, под ч ерк нем, ч то если вы бирается или то или д ругое, то нужно применять правило суммы , а если и то, и д ругое, то правило произвед ения. Н апример, на тарелк е лежат5 яблок и 3 груш и. Е сли вы бираем яблок о или груш у, то ч исло способов5+3=8. Е сли вы бираеми яблок о, и г руш у, то 5 • 3 == 15.