Читать онлайн «Дифференциальная геометрия и топология»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ (конспект лекций Е. В. Троицкого, 3-й курс, математики, осенний семестр 1997/98 уч. года) 1. Некоторые понятия общей топологии Определение 1. 1. Метрикой р на множестве X называется отображение р : X X X —У [0,оо), удовлетворяющее аксиомам: 1) /э(ж,у) = О <^> х = у Уж, у G X (аксиома тождества); 2) /э(ж,у) = /э(у,ж) Уж, у G X (аксиома симметрии); 3) /э(ж, z) < /э(ж, у) + /э(у, z) \/ж, у, z G X (аксиома треугольника). Пара (Х,р) называется метрическим пространством. Подпространство Y С X автоматически является метрическим пространством. Диаметром Y называется сиатУ := sup /э(ж,у). Множество с конечным дпаме- тром называется ограниченным. Шаровой окрестностью называется В£(х) := {у G X \р(у,х) < е}. Расстояние от F С X до Z С 1 — p(Y, Z) := inf /э(у, z). yEY,zEZ Если p(y}Y) = 0, то у — точка прикосновения Y. Замыканием Y называется Y :={множество точек прикосновения Y}. Очевидно, что Y С Y. Множество Y называется замкнутым, если Y = Y. Точка ж называется внутренней точкой У, если существует е > 0 такое, что Ве(х) С Y (в частности, ж G Y). Внутренностью Y называется совокупность Int Y С Y его внутренних точек. Множество Y называется открытым, если Y = Int У. Задача 1. 2. Пусть X — метрическое пространство. Тогда Y С X открыто тогда и только тогда, когда X \ Y замкнуто. Теорема 1. 3. Пусть X — метрическое пространство. Тогда 1 О X открыто; 2 О 0 открыто; 3 О объединение U Ua любого набора открытых подмножеств Ua С X открыто; аеА к 4 О пересечение П Ui конечного набора открытых подмножеств Ui С X от- г = 1 крыто; 13 0 замкнуто; 2 3 X замкнуто; 1 3 3 пересечение Г\ Fa любого набора замкнутых подмножеств Fa С X замкнуто; аеА к 4 3 объединение (J Fi конечного набора замкнутых подмножеств Fi С X за- г = 1 мкнуто; Доказательство. В силу предыдущей задачи к О =>■ к 3 V к. Свойства 1 О и 2 О очевидны. Докажем 3 О. Пусть U= (J Ua и ж G U. Тогда найдется такое а, что аеА х е Ua ж Ве(а) С Ua. Тогда В£^а) С Ua С U. к Докажем 4 О. Пусть £/ = П Ui, ж G U. Тогда имеется набор ег- (г = 1,... ,£;) г'=1 таких, что ж G BSi(x) С £/«-. Пусть е := min{ei,. . . , Sk}- Тогда Ве(х) С B£i(x) С U{ \/i. Значит, Ве(х) С U. □ Задача 1. 4. Показать, что от конечности нельзя отказаться. Задача 1. 5. Доказать, что Ве(х) открыто. Задача 1. 6. Доказать, что Int Y открыто. Задача 1. 7. Доказать, что Y замкнуто. Определение 1. 8. Топологией на множестве X называется система его подмножеств т (эти подмножества называются открытыми), удовлетворяющая следующим аксиомам: 1) хет- 2) 0Gr; 3) если Ua G т \/а G А, то (J [/„ G г; 4) если £/i,... , £4 G т, то f| f/, G г. г'=1 Пара (X, г) называется топологическим пространством. Множество вида F = X \U} где U G г, называется замкнутым. Задача 1. 9. Проверить для замкнутых множеств свойства 13-43. Пример 1. 10. Метрическое пространство является топологическим. Задача 1. 11. Привести пример топологического пространства (X, г), не связанного ни с какой метрикой (говорят: топология не метризуема). Определение 1. 12. Окрестностью точки ж G X (подмножества Y С X) называется любое открытое множество ее (его) содержащее.