Читать онлайн «Сборник задач математических олимпиад»

МИНИСТЕРСТВО ЗЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ CCCi- 3. И. РОЖКОВ, Г. Д. КУРДЕВАНИДЗЕ, Н. Г. ПАНФИЛОВ СБОРНИК ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД Москва Издательство Университета дружбы народов 1987 22. 1 Утверждено Р 63 Редакционно-иадательстм советом Университета Рожков В. И. , Курдеванидзе Г. Д. , Панфилов Н. Г. Сборник задач математических олимпиад. — М. : Изд-во УДК 1987. — 28 с, ил. Сборник содержит 200 задач из всех основных областей математики. Предназначен для студентов младших курсов н старшеклассников. Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор В. А. Треногий, кандидат педагогических наук Т. В. ВВЕДЕНИЕ На инженерном факультете Университета дружбы народов име- имени Патриса Лумумбы стало традицией проводить математические олимпиады для студентов I—V курсов. В них принимают активное участие иностранные студенты. Победители успешно выступают в составе команды инженерного факультета на Московской город- городской студенческой олимпиаде, проводимой в МГУ имени М. В. Ло- Ломоносова. Предлагаемые на этих олимпиадах задачи чаще всего носят нестандартный характер и требуют от студента не только хорошего знания математики, но и творческого подхода. Для успешного участия в. них требуется определенная предварительная подготов- подготовка с . использованием специальной литературы. Сборник поможет учащимся приобщиться к решению задач проблемного характера, оценить свои возможности. В него вошли задачи олимпиад на инженерном факультете УДН, Московских городских олимпиад, а также взятые из других источников. В конце сборника приводятся решения некоторых задач. АЛГЕБРА 1. Решить уравнение (х*-х+\)» ___ (a2-fl+lK хЦх—\J аЧа—1J ' 2. Решить уравнение л3—[*1 = 3, где [х]—целая часть л; (наи' большее целое число, не превосходящее х). . 3. Доказать, что тройка чисел 5, 11, 12 не может быть реше нием уравнения x"-ryn—zn ни при каком n^N. 4. Известно, что х2 + х+ 1 =0. Найти х14 + х~и, xl5 + x^15. 5. Решить уравнение Yx—2 4-^4—х=2. 6. Решить уравнение V * +V У —V90 в целых числах. 7. Доказать, ^то У х — /~х—\^ 1 при х> 1, п'= 1, 2, 3,... . 8. Решить неравенство F—3*+')/*>К)/B*— 1). 9. Доказать, что для любых положительных чисел х и у выпол няется соотношение У 4 (х+у) ^ -/ х + ^ у . 10. Доказать, что A + 1/4) A + 1/8) • ... -A + 1/2п)<2. 11. Доказать, что lg(n + l)>3/10" + lg/J, neN. 12. Что больше: 12723 или 51318? 13. Что больше: 100300 или 300!? 14. Доказать, что число 52п+1 + Зп+22л-1 при любом n^N делит- делится на 19. 15. Доказать, что если р — простое число, большее трех, то р2—1 делится на 24. 16. Доказать, что выражение л2—п+9 ни при каком n^N не делится на 49. 17. Найти все натуральные п, для которых дробь A9п+17)/ G/7 + 11) равна целому числу. 18. Доказать, что если числа р, р2 + 2 — простые, то р3 + 2 — простое число. 19. Доказать, что при любом n^N число п(п+1) (п+2) (п + + 3) + 1 является квадратом некоторого натурального числа. 20.