Читать онлайн «Конспект лекций по дифференциальной геометрии и топологии»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ (конспект лекций Е. В. Троицкого, 3-й курс, математики, осенний семестр 1997/98 уч. года) !• Некоторые понятия общей топологии Определение 1. 1. Метрикой р на множестве X называется отображение р : X х X —> [О, сю), удовлетворяющее аксиомам: 1) р(х^у) = 0 <=^ X = у Ух^у G X (аксиома тождества); 2) р(х^у) = р(у^х) Ух^у G X (аксиома симметрии); 3) р(х^ z) < р(х^ у) + /)(у, z) \/х^ y^z ^ X (аксиома треугольника). Пара (Х^р) называется метрическим пространством. Подпространство Y С X автоматически является метрическим пространством. Диаметром Y называется diamy := sup р(х. ^у). Множество с конечным днаме- x. yeY тром называется ограниченным. Шаровой окрестностью называется В,{х) :={уеХ\р{у,х) <в}. Расстояние отУсХдо^сХ — /)(У, Z) := inf /)(у, z), yeY,zez Если p(y,^Y) = О, то у — точка прикосновения У. Замыканием Y называется Y :={множество точек прпкосновенпя У}. Очевидно, что У С У. Множество У называется замкнутым,^ если Y = Y, Точка х называется внутренней точкой У, если существует е > О такое, что В^(х) С У (в частности, х ^Y), Внутренностью У называется совокупность Int У С У его внутренних точек. Множество У называется открытым^ если У = Int У. Задача 1. 2. Пусть X — метрическое пространство. Тогда Y С X открыто тогда и только тогда, когда X \Y замкнуто. Теорема 1. 3. Пусть X — метрическое пространство. Тогда 1 о X открыто; 2 о 0 открыто; 3 о объединение \J Ua любого набора открытых подмноэюеств Ua С X открыто; к 4 о пересечение f] Ui конечного набора открытых подмноэюеств Ui С X от- i=i крыто; 13 0 замкнуто; 2 3 X замкнуто; 3 3 пересечение П Fa любого набора замкнутых подмноэюеств Fa С X замкнуто; к 4 3 объединение [j Fi конечного набора замкнутых подмноэюеств Fi С X за- i=i мкнуто; Доказательство. В силу предыдущей задачи к О ^ к 3 V к. Свойства 1 О и 2 О очевидны. Докажем 3 О. Пусть U = \J Ua ^ х ^ U, Тогда найдется такое а^ что аеА X е Ua ^ Ве(а) С Ua- ТоГДа В^(а) С Ua С U, к Докажем 4 О. Пусть U = f] Ui^ х ^ U, Тогда имеется набор Si (i = 1,... ,А;) таких, что X G В^^(х) С /7^ Пусть е := minjei,... ,6/^}. Тогда В^(х) С В^^(х) С Ui Уг. Значит, В^(х) С /7. П Задача 1. 4. Показать, что от конечности нельзя отказаться. Задача 1. 5. Доказать, что В^(х) открыто. Задача 1. 6. Доказать, что Inty открыто. Задача 1. 7. Доказать, что Y замкнуто. Определение 1. 8. Топологией на множестве X называется система его подмножеств г (эти подмножества называются открытыми)^ удовлетворяющая следующим аксиомам: 1) Хет; 2) 0 G г; 3) если Ua & т \/а G А, то [j Ua & т; аеА к 4) если f/i,... , /7/, G т, то f] Ui ^ т, i=i Пара (X, г) называется топологическим пространством. Множество вида F = X \ /7, где и ^ т. ^ называется замкнутым. Задача 1. 9. Проверить для замкнутых множеств свойства 13-43. Пример 1. 10. Метрическое пространство является топологическим. Задача 1. 11. Привести пример топологического пространства (X, г), не связанного ПН с какой метрикой (говорят: топология пе метризуема). Определение 1. 12. Окрестностью точки х ^ X (подмножества Y С X) называется любое открытое множество ее (его) содержащее. Точка прикосновения У С X — такая точка х ^ Х. ^ что любая ее окрестность имеет непустое пересечение с Y.