Читать онлайн «Сингулярные меры и (1,p)-емкость в весовых классах Соболева»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2003. Том 44, № 2 УДК 517. 518. 11 СИНГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ И (1, p)–ЕМКОСТЬ В ВЕСОВЫХ КЛАССАХ СОБОЛЕВА А. С. Романов Аннотация: Изучаются условия, при которых вклад сингулярной части меры в (1, p)-емкость произвольного конденсатора оказывается нулевым. Ключевые слова: мера, емкость, пространства Соболева Как правило, необходимые и достаточные условия выполнения различных интегральных соотношений для функций классов Соболева можно довольно просто переформулировать в терминах соответствующей емкости. Однако ем- костные условия, возникающие в общем случае, оказываются практически не- проверяемыми. Поэтому представляет интерес изучение частных случаев, в которых тем или иным способом удается упростить получение необходимых емкостных оценок. Несколько неожиданный эффект был обнаружен В. Д. Сте- пановым и Д. В. Прохоровым [1] при изучении весовых неравенств на прямой: оказалось, что в одномерной ситуации значение емкости произвольного кон- денсатора полностью определяется абсолютно непрерывной составляющей ме- ры, а вклад сингулярной части меры оказывается нулевым. В данной работе рассматривается взаимосвязь между сингулярными мерами и соответствующей емкостью в пространственном случае. Счетная полуаддитивность емкости и ее непрерывность на возрастающих и убывающих семействах множеств позволяют свести интересующий нас вопрос к изучению емкости компактных подмножеств ограниченной области D ⊂ Rn . Пусть D — ограниченная область в евклидовом пространстве Rn , mn — мера Лебега в Rn , а |E| — лебегова мера множества E ⊂ Rn . Для 1 < p < ∞ и произвольной конечной регулярной борелевской меры ◦ µ в области D соболевское пространство L1p (D, µ) определим как пополнение пространства C01 (D) по норме Z 1/p f ; L1p (D, µ) = p |∇f | dµ . D Конденсатором K = (K0 , K1 ) в области D будем называть пару непересе- кающихся компактов K0 , K1 ⊂ D. Для произвольного  конденсатора K опреде- лим семейство допустимых функций M (K) = f ∈ C01 (D) | 0 ≤ f (x) ≤ 1, f = 0 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 02–01–01009) и программы «Ведущие научные школы» (код проекта 00–15–96165). c 2003 Романов А. С. 434 А. С. Романов в окрестности K0 , f = 1 в окрестности K1 и соответствующую p-емкость Z capp (K, µ) = inf |∇f |p dµ. f ∈M (K) D Для произвольного конденсатора K семейство допустимых функций непу- сто и его p-емкость конечна.