Читать онлайн «Задачи по линейной алгебре и геометрии: Учебное пособие»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии А. Н. ПАНОВ ЗАДАЧИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Издательство "Самарский университет" 2005  Печатается по разрешению Редакционно-издательского совета Самарского государственного университета Панов А. Н. Задачи по линейной алгебре и геометрии: Учебное пособие, Самара: Издательство "Самарский университет", 2005, с. 38 Данное пособие предназначено для студентов 2 курса специальности "Математика". Набор задач соответствует программе практических заня- тий по курсу "Линейная алгебра и геометрия "в 3-4 семестрах. Рецензенты: д. ф. -м. н. , профессор С. П. Мищенко, д. т. н. , профессор И. А. Тимбай, к. ф. - м. н. , доцент О. Ф. Меньших c Панов А. Н. , 2005 c Издательство "Самарский университет", 2005 2 §1. Симметрические многочлены 1. 1. Выразить через элементарные симметрические многочлены: a) x31 + x32 + x33 − 3x1 x2 x3 ; b) x21 x2 + x1 x22 + x21 x3 + x1 x23 + x22 x3 + x2 x23 ; c) (x1 + x2 )(x1 + x3 )(x2 + x3 ); d) (2x1 − x2 − x3 )(2x2 − x1 − x3 )(2x3 − x1 − x2 ); e) x41 + x42 + x43 − 2x21 x22 − 2x21 x23 − 2x22 x23 ; f) x51 x22 + x21 x52 + x51 x23 + x21 x53 + x52 x23 + x22 x53 . g) (x1 − x2 )2 (x1 − x3 )2 (x2 − x3 )2 . 1. 2. Выразить через элементарные симметрические многочлены следую- щие однородные симметрические многочлены: a) x31 + . . . ; b) x31 x2 + . . . ; c) x41 + . . . ; d) x31 x2 x3 x4 + . . . . 1. 3. Вычислить значение симметрического многочлена от корней урав- нения f (x) = 0: a) x31 x2 + x1 x32 + x31 x3 + x1 x33 + x32 x3 + x2 x33 , f (x) = x3 − x2 − 4x + 1; b) x31 x2 x3 + . . . , f (x) = x41 + x3 − 2x2 − 3x + 1; c) x41 x2 + . . . , f (x) = 3x2 − 5x + 1; d) x31 x32 + . . . , f (x) = 3x4 − 2x3 + 2x2 + x − 1. 1. 4. Найти сумму пятых степеней корней уравнения x6 − 4x5 + 3x3 − 4x2 + x + 1 = 0. 1. 5. Найти сумму восьмых степеней уравнения x4 − x3 − 1 = 0. 1. 6. Найти сумму десятых степеней уравнения x3 − 3x + 1 = 0. 1. 7. Применяя степенные суммы, вычислить дискриминанты следующих многочленов: a) x3 − 2x + 1; b) x3 − x2 − x − 1; c) x4 − x2 + x + 1; d) x4 + a. §2. Результант и дискриминант 2. 1. Вычислить результанты следующих многочленов: a) x3 − 3x2 + 2x + 1 и 2x2 − x − 1; b) 2x3 − 3x2 + 2x + 1 и x2 + x + 3; c) x3 − x2 − 1 и x2 + a. 2. 2. При каком λ многочлены имеют общий корень: a) x3 − λx + 2 и x2 + λx + 2; b) x3 − 2x2 + x − 2 и x2 − 3x + λ; 3 c) x3 + 2λx2 + 2x + 1 и x2 − λx − 2. 2. 3.  Решить системы уравнений: y − 7xy + 4x2 + 13x − 2y − 3 = 0, 2 a) y 2 − 14xy + 9x2 + 28x − 4y − 5 = 0;  2 y + x2 − 3x − y = 0, b) . y 2 − 6xy − x2 + 7x + 11y − 12 = 0. 2. 4. Используя связь результанта и дискриминанта, вычислить дискрими- нант многочлена: a) x3 − x2 − 2x + 1; b) x3 + 2x2 + 4x + 1; c) 3x3 + 3x2 + 5x + 2. 2. 5.