Читать онлайн «Пример отсутствия глобального решения обратной задачи для гиперболического уравнения»

Сибирский математический журнал Сентябрь—октябрь, 2003. Том 44, № 5 УДК 517. 958 ПРИМЕР ОТСУТСТВИЯ ГЛОБАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В. Г. Романов Аннотация: Приводится пример обратной задачи для гиперболического уравне- ния, решение которой существует и единственно в малом, но не существует гло- бально. Ключевые слова: обратная задача, гиперболическое уравнение, существование, единственность. В теории обратных задач для линейных уравнений и систем гиперболи- ческого типа, связанных с определением коэффициентов этих уравнений, за- висящих от одной переменной, имеется немало теорем однозначной локальной разрешимости задачи, а также единственности решения в целом при условии, что оно существует (см. , например, книги [1, 2]). При этом типична ситуация, когда построенное на некотором конечном отрезке решение обратной задачи можно продолжить на некоторый больший отрезок. Возникает естественный вопрос: можно ли продолжить это решение на наперед заданный интервал? Ниже мы показываем, что ответ на этот вопрос отрицательный. Даже при гладких данных задачи решение обратной задачи может не существовать на любом наперед заданном интервале. Связано это явление с нелинейностью за- дачи. Ранее гипотеза о возможном отсутствии глобального решения обратной задачи высказывалась С. И. Кабанихиным. Пусть u(x, t) — решение следующей начально-краевой задачи: utt − uxx + q(x)u = 0, x > 0, t > 0; u|x=0 = f (t)θ(t), u|t<0 = 0. (1) Здесь θ(t) — функция Хевисайда: θ(t) = 1 для t ≥ 0 и θ(t) = 0 для t < 0. Известно, что решение этой задачи обращается в нуль при t < x и задание функции f (t) на отрезке [0, T ], а функции q(x) на [0, T /2] однозначно определяет решение в области (T ) := {(x, t) | 0 ≤ x ≤ T /2, 0 ≤ t ≤ T − x} при любом T > 0. Гладкость решения определяется гладкостью функций f (t) и q(x), а также значениями функции f (t) и ее производных при t = 0. В частности, если f (0) 6= 0, то решение разрывно вдоль характеристики t = x. Рассмотрим обратную задачу: при заданной функции f (t) на [0, T ] и за- данном следе производной по x решения задачи (1) на {(x, t) | x = 0, 0 < t ≤ T }: ux |x=0 = g(t), t ∈ (0, T ], (2) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 02–01–00818). c 2003 Романов В. Г. Пример отсутствия глобального решения 1111 найти q(x) на [0, T /2]. Определение. Решением обратной задачи будем называть такую функ- цию q(x), что соответствующее ей решение задачи (1) удовлетворяет условию (2). Приведем типичную теорему однозначной локальной разрешимости для за- дачи (1), (2). Доказательство ее может быть легко выполнено по схеме, изло- женной в [1], и здесь не приводится. Теорема 1. Если для некоторого T > 0 функции f (t), g(t) удовлетворяют одному из следующих условий: 1) f (0) 6= 0, f (t) ∈ C2 [0, T ], g(t) ∈ C1 [0, T ], g(+0) = −f 0 (0); 2) f (0) = f 0 (0) = · · · = f (k−1) (0) = 0, f (k) (0) 6= 0, f (t) ∈ Ck+2 [0, T ], g(t) ∈ Ck+1 [0, T ], g (k) (+0) = −f (k+1) (0), в которых k ≥ 1 — целое число, то найдется такое положительное T0 ≤ T , что в классе функций q(x) ∈ C[0, T0 /2] решение обратной задачи (1), (2) существует и единственно.