Читать онлайн «Некоторые численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений: Методическое пособие»

С. В. Овчинников, В. Н. Шевцов Некоторые численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений Методическое пособие по учебной дисциплине «Вычислительные методы» для студентов физического факультета СГУ ОДОБРЕНО: Председатель учебно-методической комиссии физического факультета, профессор _________________ В. Л. Дербов «____» _________________2007 г. Саратов 2007  Содержание 1 Корни уравнения. Отделение корней ……………………………………. 3 2 Численное решение уравнения методом половинного деления (метод дихотомии) …………………………………………………………. . 4 3 Метод хорд …………………………………………………………………. 6 4 Метод касательных (метод Ньютона) ……………………………………. 7 5 Метод простых итераций (метод последовательных приближений) …. . 9 Задания ………………………………………………………………………. . 11 Литература …………………………………………………………………… 11 2  1 Корни уравнения. Отделение корней Функция f (x) называется алгебраической, если для получения ее числового значения по данному значению аргумента х требуется выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Если в запись уравнения входят только алгебраические функции, то уравне- ние называется алгебраическим. Алгебраическое уравнение всегда может быть приведено к виду an x n + an −1x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a1x + a0 = 0 , (1) где n = 1,2,3... , an ≠ 0 . Все неалгебраические функции: показательная а х , логарифмическая log a x , тригонометрические sin x, cos x, tgx, ctgx и обратные тригонометрические arcsin x, arccos x, arctgx, arcctgx – называются трансцендентными. Если в запись уравнения входят трансцендентные функции, то уравнение называется трансцендентным, например tgx = ax . Решение уравнения f ( x) = 0 с одним неизвестным х заключается в отыска- нии корней, то есть тех значений х , которые обращают уравнение в тождество. В общем случае для уравнения f ( x) = 0 отсутствуют аналитические форму- лы, определяющие его корни. Задача отыскания корней сводится к нахождению всех точек xi пересечения графика функции f(x) с осью x (см. рисунок 1). Из рисунка видно, что число точек пересечения графика функции с осью x может быть несколько. Поэтому в качест- ве первого шага при решении любого уравнения проводят отделение его корней. Это означает, что ось x разбивают на такие отрезки, что в каждом из них содер- жится только один корень уравнения. После этого следует уточнить положение каждого корня в пределах допустимой погрешности. Рисунок 1 − Геометрическая интерпретация корней уравнения f(x) = 0 Для отделения корней полезна следующая теорема: если непрерывная функ- ция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a, b] , т. е.