Читать онлайн «Приложения кратных интегралов: Учебно-методическое пособие»

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т ПРИ ЛО Ж Е Н И Я К РА Т Н ЫХ И Н Т Е ГРА ЛО В У чебн о-методическое пособие для студен тов по специаль н ости “ М атематика” 010101(010100) и н аправлен ию “ М атематика. Прикладн ая математика” 010200(511200) В орон еж 2006  2 У т верж д ен о н а у чн о-м ет од ическим совет ом м а т ем а т ического ф а ку льт ет а , п рот окол № 4 от 9. 12. 2005 г. Сост а вит ель д оц. Зу бова С. П. У чебн о-м ет од ическое п особие п од гот овлен о на ка ф ед ре м а т ем а т ического а н а лиза м а т ем а т ического ф а ку льт ет а Ворон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ет а . Реком ен д у ет ся д ля ст у д ен т ов вт орого ку рса д н евн ого и вечерн его от д елен ий в п ом ощ ь п ри решен ии за д а ч м а т ем а т ического а н а лиза .  3 В п особии реша ю т сяза д а чи н а хож д ен ияобъем а т ела и п лощ а д и п оверхн ост и с п ом ощ ью д вой н ы х и т рой н ы х ин т егра лов. Для лу чшего п он им а н ия ра ссм а т рива ем ы х м н ож ест в п ривлека ю т ся гра ф ические обра зы . 1. О сн овн ы е сведен ия Исп ользу ю т сяслед у ю щ ие осн овн ы е ф а кт ы (см . [1],[2]). Если т ело V - ест ь совоку п н ост ь т очек ( x , y , z ) п рост ра н ст ва R 3 , у д овлет воряю щ их соот н ошен иям z1( z , y ) ≤ z ≤ z2 ( z , y ) и ( x , y ) ∈ D ∈ R 2 , т о объем υ т ела V ра вен υ = ∫∫ ( z 2 ( x , y ) − z1( x , y ))dxdy . (1) D Или  z2 ( x , y ) υ = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫  ∫ dz dxdy . (2) V D  z1( x , y )  В свою очеред ь, если D = {( x , y ) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b , y1( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )}, то b  y2 ( x )   ∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫  ∫ f ( x , y )dy dx. (3) D a   y1 ( x )  Если D = {( x , y ) ∈ R 2 : c ≤ y ≤ d , x1( y ) ≤ x ≤ x2 ( y )},  4 то d x2 ( y ) ∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫ { ∫ f ( x , y )dx }dy . (4) D c x1 ( y ) Зд есь и д а лее все ра ссм а т рива ем ы е ф у н кции п ред п ола га ю т ся н еп реры вн ы м и н а соот вет ст ву ю щ ихм н ож ест ва х. Площ а д ь Ps п оверхн ост и S т а кой , чт о S = {( x , y , z ) ∈ R 3 : z = z( x , y ),( x , y ) ∈ D }, н а ход ит сяп о ф орм у ле PS = ∫∫ 1 + ( z ′x )2 + ( z ′y )2 dxdy . (5) D Для более п рост ого вы числен ия ин т егра лов ча ст о исп ользу ет ся п ереход от д ека рт овы х коорд ин а т ( x , y ) к п олярн ы м коорд ин а т а м (ϕ ,r ) п о ф орм у ла м x = r cos ϕ , y = r sin ϕ (рис. 1,2).