Читать онлайн «Группы Эйлера и арифметика геометрических прогрессий»

В. И. АРНОЛЬД ГРУППЫ ЭЙЛЕРА И АРИФМЕТИКА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЙ Москва Издательство МЦНМО 2003 УДК 511 ББК 22. 13 А84 Арнольд В. И. А84 Группы Эйлера и арифметика геометрических прогрессий. — М. : МЦНМО, 2003. — 44 с. ISBN 5-94057-141-7 ББК 22. 13 Арнольд В. И. , 2003 ISBN 5-94057-141-7 МЦНМО, 2003  § 1. Основные определения Для любого натурального числа n в группе вычетов Zn = Z/nZ по модулю n лежит мультипликативная подгруппа Γ(n) ⊂ Zn , образованная вычетами, взаимно простыми с n. Число ϕ(n) элементов группы Γ(n) Гаусс назвал значением в точке n функции Эйлера ϕ. Определение. Группой Эйлера Γ(n) называется мультипликативная группа взаимно простых с n вычетов по модулю n. Таким образом, группа Эйлера является коммутативной группой по- рядка ϕ(n). В то время как функция Эйлера много исследовалась (Ферма, Эйлером, Гауссом, Лежандром, Якоби и другими), группа Эйлера настоль- ко же интереснее, чем числа ϕ(n), доставляемые функцией Эйлера, на- сколько группы гомологий интереснее чисел Бетти. Приведение по модулю a определяет естественный гомоморфизм Γ(ab) → Γ(a). Настоящая работа посвящена описанию групп Эйлера и этих естественных гомоморфизмов. Замечание. Я не стал выискивать, кто первым открыл тот или иной сообщаемый ниже факт, но в литературе (ср. [4] — [8]) можно найти, в иных терминах, описания типа: «этот результат был известен Ферма, был сфор- мулирован Эйлером и был доказан Гауссом (доказательства которого были позже усовершенствованы NN)». Я предпочитаю считать последующее изложением достойной войти в элементарные учебники «теории Эйлера», не заботясь об отсутствии в его публикациях как формулировок, так и доказательств. § 2. Отступление о функции Эйлера Значение функции Эйлера легко вычисляется по разложению аргумен- та на простые множители, n = p1a1 · · · pkak , а именно ϕ(n) = (p1 − 1) p1a1 −1 · · · (pk − 1) pkak −1 . Например, ϕ(p) = p − 1, ϕ(9) = 6, ϕ(15) = 8 (причем, по определению, ϕ(1) = 1). Действительно, все вычеты по модулю простого числа p, кроме нуля, взаимно просты с ним, так что ϕ(p) = p − 1. Из p a вычетов по модулю n= p a не взаимно просты с n в точности де- лящиеся на p вычеты, число которых равно p a−1 , так что ϕ(p a)= p a − p a−1 . Наконец, если простых делителей pi у числа n имеется k, то взаимно простой с n остаток по модулю n имеет взаимно простой с pi остаток ri по модулю piai и определяется этими остатками ri однозначно (формальное доказательство см. в § 6, где это следует из теоремы 1). 3  При больших значениях аргумента n значение ϕ(n) растет, в среднем, как cn, где c = 6/π 2 близко к 2/3 (ср. [3]). «Рост в среднем», введенный в [3], означает равенство единице предела при n → ∞ отношения сумм n первых значений, ϕ(1) + ϕ(2) + . . . + ϕ(n) lim = 1.