Читать онлайн «Линейные операторы и их собственные векторы: метод. указания к выполнению типового расчета»

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана И. В. Дубограй, О. В. Скуднева ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ Методические указания к выполнению типового расчета Москва Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана 2012 УДК 512. 86 ББК 22. 143 Д79 Рецензент В. Г. Крапоткин Дубограй И. В. Д79 Линейные операторы и их собственные векторы : метод. указания к выполнению типового расчета / И. В. Дубограй, О. В. Скуднева. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. – 30, [2] с. : ил. Приведены основные понятия и определения по теме «Линейный оператор». Представлен необходимый справочный материал. Рассмо- трены решения типовых задач. Для студентов первого курса МГТУ им. Н. Э. Баумана всех специ- альностей. Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ им. Н. Э. Баумана. УДК 512. 86 ББК 22. 143 Учебное издание Дубограй Ирина Валерьевна Скуднева Оксана Валентиновна ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ Методические указания Редактор О. М. Королева Корректор Е. В. Авалова Компьютерная верстка В. И. Товстоног Подписано в печать 26. 06. 2012. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 1,86. Тираж 100 экз. Изд. № 109. Заказ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н. Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул. , 5. c МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012  § 1. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР Определение. Если в линейном пространстве L задан закон e по которому каждому элементу x ∈ L ставится в соответствие A, единственный вектор y ∈ L1 , то этот закон, отображающий про- странство L на пространство L1 , называется линейным операто- ром, если выполняются следующие условия: e (x + y) = A A e (x) + A e (y) ; e (kx) = k A A e (x) , где k ∈ R; x ∈ L; A e (x) = y ∈ L1 . Вектор y называют образом, а вектор x — прообразом. Линейный оператор A e : L → L (т. е. линейное пространство отображается на себя) называется линейным преобразованием про- странства L. Пример 1. Рассмотрим пространство V2 компланарных геоме- трических векторов. Действие оператора A e заключается в повороте этого пространства вокруг некоторой точки на угол ϕ. Выясним, является ли этот оператор линейным. Решение. Так как геометрические векторы свободны, отнесем начала всех этих векторов к точке O, вокруг которой поворачивает- ся пространство. Все векторы принадлежат теперь одной плоско- сти π. Проверим, выполняются ли условия линейности оператора. Если x1 и x2 — векторы пространства V2 , т. е. они принадле- жат плоскости π, то сумма x1 + x2 = x3 — вектор, построенный, например, по правилу параллелограмма.