Читать онлайн «О следствий функций, принадлежащих обобщенным классам соболевского типа»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2007. Том 48, № 4 УДК 517. 51 О СЛЕДАХ ФУНКЦИЙ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ОБОБЩЕННЫМ КЛАССАМ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА А. С. Романов Аннотация: Для функциональных классов соболевского типа, определенных на метрическом пространстве с борелевской мерой, рассматривается вопрос о компакт- ности вложения пространства следов в лебеговские классы на множествах меньшей «размерности». Как следствие, получаются условия компактности вложения следов для классических соболевских пространств Wp1 , определенных в «нулевых» пиках с гёльдеровой особенностью в вершине. Ключевые слова: пространства Соболева, теоремы вложения, следы. Точку пространства Rn будем обозначать через (x, y), где x ∈ R, y ∈ Rn−1 . Символом B(a, ρ) обозначим n-мерный евклидов шар с центром в точке a ра- диуса ρ. Для 1 ≤ λ < ∞ пик Gλ ⊂ Rn определим условием Gλ = {(x, y) ∈ Rn | 0 < x < 1, 0 < yk < xλ , k = 1, . . . , n − 1}. Обозначим через mn сужение n-мерной меры Лебега на пик Gλ , через σ — сужение (n−1)-мерной меры Хаусдорфа на ∂Gλ и положим  = 1+(n−1)λ. По- скольку для шаров с центром в вершине пика выполняется оценка mn (B(0, ρ)) ∼ Cρ , в различных оценках показатель  часто играет роль «размерности» пика Gλ . В работе [1] показано, что оператор следа Tr : Wp1 (Gλ ) → Lq (∂Gλ , σ) будет компактным при 1) 1 ≤ q < p −λ −p , когда λ < p < ; 2) 1 ≤ q < ∞, когда p ≥ . Доказательство данного утверждения в работе [1] основано на совпадении (при достаточно больших значениях показателя суммируемости p) классиче- ских пространств Соболева Wp1 (Gλ ) и функциональных классов Соболева — Хайлаша HWp1 (Gλ , | ∗ |, mn ), определяемых по евклидовой метрике | ∗ | и ме- ре Лебега. Предельное значение показателей суммируемости q, при которых оператор следа Tr : HWp1 (Gλ , | ∗ |, dx) → Lq (∂Gλ , σ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 05–01–00482–a), программы «Ведущие научные школы» (код проекта НШ–8526. 2006. 1) и Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН 2006. c 2007 Романов А. С. О следах функций 849 будет компактным, однозначно определяется соотношением показателей «ре- гулярности» мер mn и σ относительно евклидовой метрики | ∗ |. Получить полное описание пространства следов в рамках шкалы пространств Соболева — Хайлаша не удается, однако, используя уже имеющиеся теоремы вложения для пространств Соболева — Хайлаша, можно получить ответ на интересующий нас вопрос о компактности оператора следа, не находя явного описания простран- ства следов на границе пика. К сожалению, метод работы [1] применим лишь при показателях суммиру- емости p > /n, поскольку в существенной мере опирается на ограниченность специальным способом сконструированного оператора продолжения Ext : Wp1 (Gλ ) → Wq1 (G1 ).