Читать онлайн «Высшая математика (часть 2). Конспект лекций. 10. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции»

8. Производная сложной функции Если дана функция z=F(u; v), где в свою очередь u=u(x; y) и v=v(x; y), то говорят, что задана слож ная функция от x и y. Теорема. Пуст ь функция F(u; v) имеет непрерывные производные по u и v в т очке (u0; v0) и кроме т ого, сущест вуют производные функций u и v по x и y в т очке (x0; y0), где выполняют ся равенст ва u0= u(x0; y0), v0= v(x0; y0). Тогда в т очке (x0; y0) сущест вуют производные ¶F ¶F и , ¶x ¶y причем ¶F ¶F ¶u ¶F ¶v = × + × ¶x ¶u ¶x ¶v ¶x ¶F ¶F ¶u ¶F ¶v . (2. 8. 1) = × + × ¶y ¶u ¶y ¶v ¶y С доказательством теоремы можно ознакомится в [1. гл. VIII § 10]. Пример 14. Найти частные производные сложной функции F = u 2 + uv + v 2 , где 2 2 u = ( x + y) ; v = ( x - y) . Решение. В соответствии с формулой (2. 8. 1) имеем ¶F = ( 2 u + v) × 2( x + y) + ( u + 2 v) × 2( x - y) ; ¶x ¶F = ( 2u + v) × 2( x + y) - ( u + 2v) × 2( x - y) , ¶y 2 2 где u = ( x + y) ; v = ( x - y) . Полная производная Пусть задана функция z=F(u; v), где x и y есть функции от t: x=x(t); y=y(t). Тогда z есть функция только от t: z=F(x(t); y(t)). dz Производная от функции z=F(x(t); y(t)) называется полной производной. dt  Очевидно, что в условиях предыдущей теоремы из формулы (2. 8. 1) получаем dz ¶F dx ¶F dy = × + × . (2. 8. 2) dt ¶x dt ¶y dt Если задана функция z=F(x; y), где y есть функция от x: y=y(x), то z есть функция только от x: z=F(x; y(x)). В соответствии с формулой (2. 8. 1) получаем dz ¶F ¶F dy = + × . (2. 8. 3) dx ¶x ¶y dx dz Пример 15.