Читать онлайн «Предел функции. Формулы Ньютона - Лейбница и Тейлора»

Л. Д. КУДРЯВЦЕВ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА И ТЕЙЛОРА МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 2004 УДК 517 ББК 22. 161 К 88 Кудрявцев Л. Д. Предел на—Лейбница и Тейлора. — М. : ISBN 5-9221-0506-Х. функции. Формулы Ньюто- ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 32 с. - Данное издание является методическим дополнением к учебнику Л. Д. Кудрявцева «Краткий курс математического анализа» (М. : Физматлит, 2002), в основе которого лежит нетрадиционное определение предела функции. В брошюре подробно обсуждаются преимущества такого определения по сравнению с обычно используемым в учебной литературе. Во второй части брошюры анализируется связь между формулами Тей- Тейлора и Ньютона-Лейбница. Учебное издание КУДРЯВЦЕВ Лев Дмитриевич ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА И ТЕЙЛОРА Редактор B. C. Аролович Оригинал-макет: В. В. Худяков Оформление переплета: А. Ю. Алехина ЛР №071930 от 06. 07. 99. Подписано в печать 18. 05. 04. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2. Уч. -изд. л. 2. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997, Москва, ул. Люберцы, Московская обл. , Октябрьский пр-т, 403 ISBN 5-9221-0506-Х 105064 ISBN 5-9221-0506-Х © ФИЗМАТЛИТ, 2004 © Л. Д. Кудрявцев, 2004 Содержание 1. Предисловие 4 2. Предел функции 5 3. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора 22 Список литературы 32 1. Предисловие Понятие предела функции является одним из основных в матема- математическом анализе. Однако его традиционное определение имеет суще- существенные недостатки. Оно не охватывает все случаи предела, встре- встречавшиеся раньше в элементарной математике на интуитивном уровне, не даёт возможности наглядно пояснить, почему в математике дис- дискретное является частным случаем непрерывного, и иногда приводит к неоправданным усложнениям формулировок и доказательств теорем, в которых участвует понятие предела функции. Существует другое, в определённом смысле более простое опреде- определение предела функции, содержащее в себе традиционное как частный случай, и лишённое его недостатков. Этому вопросу посвящена первая часть книги. Далее рассматривается связь формул Ньютона-Лейбница и Тей- Тейлора. Формула Тейлора встречается в курсе математического анализа раньше формулы Ньютона-Лейбница, что имеет достаточное методи- методическое оправдание: изучение дифференциального исчисления предше- предшествует изучению интегрального. Это приводит к тому, что для доказательства формулы Тейлора при- приходится применять тот или иной искусственный приём, «придумывать» какую-либо конструкцию. Вместе с тем по существу формула Тейлора является прямым следствием формулы Ньютона-Лейбница — в том смысле, что получается из неё простым «бездумным» доказательством. Однако, чтобы получить широко используемые записи остаточного члена в форме Лагранжа и Коши, надо воспользоваться правилом перемены порядка интегрирования в повторных интегралах.