Читать онлайн «Сборник задач с решениями для подготовки к студенческим математическим олимпиадам»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко А. К. , Руденко М. Н. , Семерич Ю. С. СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СТУДЕНЧЕСКИМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЛИМПИАДАМ Пенза, 2009 г. ОГЛАВЛЕНИЕ Введение…………………………………………………………………………. 3 1. Линейная алгебра……………………………………………………………. . 4 2. Аналитическая геометрия…………………………………………………… 7 3. Математический анализ……………………………………………………... 9 3. 1 Графики функций………………………………………………. . ………. 9 3. 2 Пределы функций………………………………………………. . ………. 11 3. 3 Теоремы дифференциального исчисления о среднем значении……… 15 3. 4 Ряды………………………………………………………………... ……... 20 Список литературы……………………………………………………………... 24 2  ВВЕДЕНИЕ Одним из средств повышения математической культуры будущих спе- циалистов физико-математического и технического профиля в вузе является подготовка и участие студентов в математических олимпиадах. Студент при этом развивает привычку к точному логическому мышлению, получает творче- ские исследовательские навыки. В пособии приводятся задачи, углубляющие теоретический материал. Есть задачи вычислительного характера. Задачи взяты из учебников, задачни- ков, олимпиадных сборников. Список задач разбит на типы. Приведены решения всех задач. Используя пособие, можно проводить личное первенство для студентов первого, второго и старших курсов. Если первенство будет командным, то каж- дая команда может состоять из трех человек-студентов одной группы, которые решают и сдают для проверки одну общую работу. Получается соревнование между группами, потоками, факультетами. Можно проводить олимпиады для студентов разных специальностей: эко- номического, технического, гуманитарного и других профилей. Победители олимпиады могут претендовать на премии, именные стипен- дии и другие льготы. 3  РАЗДЕЛ 1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Задача 1. 1. Вычислить определитель п-го порядка α+β αβ 0 … 0 0 1 α+β αβ … 0 0 0 1 α+β … 0 0 ∆n = , … … … … … … 0 0 0 … α + β αβ 0 0 0 … 1 α+β где α и β – действительные числа, такие, что α ≠ β . Решение. Представим элементы первого столбца в виде суммы двух сла- гаемых α + β,1 + 0, 0 + 0, …, 0 + 0, 0 + 0 . Тогда определитель ∆ n можно предста- вить в виде суммы двух определителей: α αβ 0 … 0 0 1 α+β αβ … 0 0 0 1 α+β … 0 0 ∆n = + … … … … … … 0 0 0 … α + β αβ 0 0 0 … 1 α +β β αβ 0 … 0 0 0 α+β αβ … 0 0 0 1 α+β … 0 0 + . … … … … … … 0 0 0 … α + β αβ 0 0 0 … 1 α+β В первом определителе первый столбец, умноженный на β , вычтем из второго, затем полученный второй столбец, умноженный на β , вычтем из третьего и так продолжаем до последнего n -го столбца.