Читать онлайн «Метрические пространства. Учебное пособие»

CIS i Г. В. Сибиряков Ю. А. Мартынов УДК 517(075. 8) ЬЬК 22 lf>l Я 73 С 341 Сибириков I. B. , Мартынов Ю. А. С 341 Метрические пространства: Учебное пособие. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2012. - 166 с. ISBN 978-5-75U-2142-6 Излагаются основные вопросы теории метрических пространств, в том числе и такие, которые зачастую остаются за пределами курсов математического анализа, читаемых в университетах: сепарабельность, теорема Бэра о категориях, равномерная непрерывность отображений метрических пространств и др. Во всех разделах приведены примеры, как поясняющие общие определения, так и выявляющие важные частные случаи. Для студентов физико-математических специальностей университетов. УДК 517 (075. 8) ББК 22. 161 Я 73 ISBN 978-5-7511-2142-6 © Сибиряков Г. В. , Мартынов Ю. А. , 2012 Предисловие В современных курсах математического анализа часто излагаются основы теории метрических пространств. Однако в учебной литературе, предназначенной для студентов младших курсов, нет простого изложения этой теории. Данное пособие - попытка заполнить этот пробел. Содержание пособия ясно из оглавления. В лекционных курсах излагается не все. Некоторые вопросы (сепарабельные пространства, теорема Бэра о категориях, принцип неподвижной точки, пространство непрерывных функций на компакте и др. ) предназначены для самостоятельного изучения. Ссылки на факты, изложенные в текущем параграфе, - краткие: по теореме 1, согласно определению 1, ... . Символ 0 означает конец доказательства. §1. Евклидовы пространства Rn 1. Введем на плоскости прямоугольную систему координат. Каждая точка А плоскости однозначно определяется своими координатами - абсциссой χχ и ординатой х2. Отождествляя точку А с парой (жр£2) ее координат, можем считать, что плоскость совпадает с множеством всевозможных упорядоченных пар вещественных чисел, т. е. с множеством r2 = irxir = [(xl9x2)-9x{eR,x2eR}. Расстояние р(А,В) между точками Α = (χλ,χ2) и B--(yvy2) плоскости !К по теореме Пифагора выражается формулой р(Д В) = \АВ\ = yl(x-Vif+(x2-V2)2. Аналогично трехмерное пространство элементарной геометрии естественно отождествить с множеством К3 = МхКхМ = {(х19х2,х3); х{еШ,х2еШ,х3еЩ всех упорядоченных троек {х{,х2,х3^ вещественных чисел. Расстояние между точками А = (х{,х2,х3) и В = (у{,у2,у3) пространства IR выражается формулой р(Л,Я) = \1{х{-у{)2+{х2-у2)2+{х3-у3)2. Четырехмерное пространство на интуитивном уровне представить трудно. Однако по аналогии с предыдущим ясно, что четырехмерным пространством следует объявить множество К4 = {х = (хх,х2,х3,х4); χλеК,χ2еК,хъеШ,х4еЩ всех упорядоченных наборов из четырех вещественных чисел. Так, (0,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (2,-1,π, Л) - различные точки пространства Μ . Расстояние между точками 4 A = (xvx2,x3,x4) и B=(yvy2,yvy4)eR* можно определить по формуле р(А,В) = у](х1-у1)\(х2-у2)2 + (х3-у3)2 + (х4-У4)\ Естественным обобщением плоскости Ш2 и пространств R3, Ш4 является п- мерное евклидово пространство Шп. 2.