Читать онлайн «Введение в алгебру. В 3-х частях. Часть 1. Основы алгебры»

И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгеб- алгебры: Учебник для вузов. — 3-е изд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0487-Х. Рассмотрены системы линейных уравнений, элементарная теория мат- матриц, теория определителей, простейшие свойства групп, колец и полей, комп- комплексные числа и корни многочленов. Помещено большое число упражнений различной степени трудности. Специальный раздел посвящен обсуждению некоторых нерешенных задач о многочленах. Второе издание — 2001 г. Для студентов младших курсов университетов и вузов с повышенными требованиями по математике. Ил. 28. © ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001, 2004 ISBN 5-9221-0487-Х © А. И. Кострикин, 2000, 2001 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 7 СОВЕТЫ ЧИТАТЕЛЮ 10 ГЛАВА 1 ИСТОКИ АЛГЕБРЫ 1. Алгебра вкратце 12 2. Некоторые модельные задачи 15 1. Задача о разрешимости уравнений в радикалах A5). 2. За- Задача о состояниях многоатомной молекулы A7). 3. Задача о кодировании сообщения A8). 4. Задача о нагретой пластин- пластинке A8). 3. Системы линейных уравнений. Первые шаги 19 1. Терминология B0). 2. Эквивалентность линейных сис- систем B1). 3. Приведение к ступенчатому виду B3). 4. Исследова- Исследование системы линейных уравнений B4). 5. Отдельные замечания и примеры B6). 4. Определители небольших порядков 29 Упражнения C3). 5. Множества и отображения 33 1. Множества C3). 2. Отображения C5). Упражнения D0). 6. Отношения эквивалентности. Факторизация отображений . . 41 1. Бинарные отношения D1). 2. Отношение эквивалентнос- эквивалентности D1). 3. Факторизация отображений D2). 4. Упорядоченные множества D4). Упражнения D5). 7. Принцип математической индукции 46 Упражнения E0). 8. Перестановки 50 1. Стандартная запись перестановки E0). 2. Цикловая струк- структура перестановки E2). 3. Знак перестановки E6). 4. Действие Sn на функциях E8). Упражнения F0). 9. Арифметика целых чисел 61 1. Основная теорема арифметики F1). 2. НОД и НОК в Z F3). 3. Алгоритм деления в Z F3). Упражнения F4). Оглавление ГЛАВА 2 МАТРИЦЫ 1. Векторные пространства строк и столбцов 65 1. Мотивировка F5). 2. Основные определения F6). 3. Линей- Линейные комбинации. Линейная оболочка F7). 4. Линейная зависи- зависимость F8). 5. Базис. Размерность F9). Упражнения G2). 2. Ранг матрицы 72 1. Возвращение к уравнениям G2). 2. Ранг матрицы G4). 3. Критерий совместности G6). Упражнения G7). 3. Линейные отображения. Действия с матрицами 78 1. Матрицы и отображения G8). 2. Произведение матриц (81). 3. Транспонирование матриц (83). 4. Ранг произведения матриц (84). 5. Квадратные матрицы (86). 6. Классы эквива- эквивалентных матриц (91). 7. Вычисление обратной матрицы (93). 8. Пространство решений (96). Упражнения (98). ГЛАВА 3 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1. Определители: построение и основные свойства 102 1. Геометрическая мотивировка A02). 2. Комбинаторно- аналитический подход A04). 3. Основные свойства определи- определителей A05). Упражнения A12). 2. Дальнейшие свойства определителей 113 1. Разложение определителя по элементам столбца или стро- строки A13). 2.