Читать онлайн «Управляемость и симметрии инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах»

Ю. Л. Сачков Управляемость и симметрии инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах ii Оглавление Предисловие ix I Управляемость инвариантных систем на группах Ли 1 1 Инвариантные системы на группах Ли 5 1. 1 Общие свойства правоинвариантных систем . . . . . . . . . . . 5 1. 1. 1 Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. 1. 2 Простейшие свойства множеств достижимости и орбит 7 1. 1. 3 Матричные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. 1. 4 Нормальная достижимость . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. 1. 5 Общие условия управляемости . . . . . . . . . . . . . . 11 1. 2 Системы на однородных пространствах . . . . . . . . . . . . . 13 1. 2. 1 Транзитивные действия, однородные пространства и управляемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1. 2. 2 Билинейные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Индуцированные векторные поля и системы . . . . . . 14 Билинейные системы на Rn \ {0} . . . . . . . . . . . . . 15 Билинейные системы на S n−1 . . . . . . . . . . . . . . . 15 1. 2. 3 Аффинные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1. 3 Насыщение Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1. 4 Условия управляемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1. 4. 1 Симметричные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1. 4. 2 Компактные группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1. 4. 3 Полупрямые произведения групп Ли . . . . . . . . . . . 21 1. 4. 4 Полупростые группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1. 4. 5 Нильпотентные группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1. 4. 6 Группы Ли с кокомпактным радикалом . . . . . . . . . 24 1. 5 Библиографические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1. 5. 1 Управляемость инвариантных систем . . . . . . . . . . 25 1. 5. 2 Индуцированные системы на однородных пространствах 26 1. 5. 3 Насыщение Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1. 5. 4 Теория полугрупп Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 iii iv ОГЛАВЛЕНИЕ 1. 5. 5 Симметричные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1. 5. 6 Компактные группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1. 5. 7 Полупрямые произведения групп Ли . . . . . . . . . . . 27 1. 5. 8 Полупростые группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1. 5. 9 Нильпотентные группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1. 5. 10 Группы Ли с кокомпактным радикалом . . . . . . . . . 28 Ранговое условие и гиперповерхностный принцип . . . 28 2 Гиперповерхностные системы 29 2. 1 Определения и формулировка критерия управляемости . . . . 29 2. 2 Предварительные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. 3 Доказательство критерия управляемости . . . . . . . . . . . . 33 2. 4 Необходимые условия управляемости . . . . . . . . . . . . . . 34 2. 5 Библиографические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Вполне разрешимые группы Ли 37 3. 1 Определения и формулировка критерия управляемости . . . . 37 3. 2 Подалгебры коразмерности один . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3. 3 Доказательство критерия управляемости . . . . . . . . . . . . 40 3. 4 Фактор-системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. 5 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3. 6 Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3. 6. 1 Алгебры Ли, сложные для управления . . . . . . . . . . 42 3. 6. 2 Подалгебры коразмерности один и два . . . . . . . . . . 42 3. 7 Библиографические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4 Разрешимые группы Ли и их обобщения 45 4. 1 Обозначения и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4. 2 Необходимые условия управляемости . . . . . . . . . . . . . . 49 4. 2. 1 Формулировки результатов . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4. 2. 2 Предварительные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4. 2. 3 Доказательство необходимых условий управляемости . 56 4. 3 Достаточные условия управляемости . . . . . . . . . . . . . . . 56 4. 3. 1 Формулировки результатов . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4. 3. 2 Предварительные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4. 3. 3 Доказательство достаточных условий управляемости . 64 4. 4 Библиографические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5 Метабелевы группы Ли 67 5. 1 Условия управляемости на метабелевых группах Ли . . . . . . 67 5. 2 Полупрямые произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5. 3 Аффинные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5. 4 Группа движений плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5. 5 Библиографические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 ОГЛАВЛЕНИЕ v 6 Разрешимые группы Ли малой размерности 77 6. 1 Одномерная алгебра Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6. 2 Двумерные алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6. 3 Трехмерные алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6. 3. 1 Конструкция управляемых алгебр Ли . . . . . . . . . . 80 6. 3. 2 Условия управляемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6. 3. 3 Доказательство условий управляемости . . . . . . . . . 82 Алгебра Ли L3 (λ): теорема 6. 4 . . . . . . . . . . . . . . 82 Управляемые алгебры Ли: теорема 6. 5 . . . . . . . . . . 82 6. 3. 4 Изоморфизмы управляемых алгебр Ли . . . . . . . . . 83 6. 4 Четырехмерные алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6. 4. 1 Конструкция управляемых алгебр Ли . . . . . . . . . . 83 6. 4. 2 Условия управляемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6. 4. 3 Доказательство условий управляемости . . . . . . . . . 84 Алгебра Ли L4 (λ): теорема 6. 7 . . . . . . . . . . . . . . 84 Управляемые алгебры Ли: теорема 6. 8 . . . . . . . . . . 85 6. 4. 4 Изоморфизмы управляемых алгебр Ли . . . . . . . . . 86 6. 5 Пятимерные алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6. 5. 1 Конструкция управляемых алгебр Ли . . . . . . . . . . 87 6. 5. 2 Условия управляемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6. 5. 3 Доказательство условий управляемости . . . . . . . . . 89 Алгебра Ли L5,I (λ, µ): теорема 6. 10 . . . . . . . . . . . . 89 Алгебра Ли L5,II (λ): теорема 6. 11 . . . . . . . . . . . . 89 Управляемые алгебры Ли: теорема 6. 12 . . . . . . . . . 89 6. 5. 4 Изоморфизмы управляемых алгебр Ли . . . . . . . . . 93 6. 6 Шестимерные алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6. 6. 1 Конструкция управляемых алгебр Ли . . . . . . . . . . 94 6. 6. 2 Условия управляемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6. 6. 3 Доказательство условий управляемости . . . . . . . . . 100 Алгебра Ли L6,I (λ, µ): теорема 6. 14 . . . . . . . . . . . . 100 Алгебра Ли L6,II (λ, µ): теорема 6. 15 . . . . . . . . . . . 103 Алгебра Ли L6,III (λ): теорема 6. 16 . . . . . . . . . . . . 103 Алгебра Ли L6,IV (λ): теорема 6. 17 . . . . . . . . . . . . 106 Алгебры Ли L6,V (λ) и L6,V I (λ): теорема 6. 18 . . . . . . 106 Алгебры Ли L6,V II и L6,V III : теорема 6. 19 . . . . . . . 107 Управляемые алгебры Ли: теорема 6. 20 . . . . . . . . . 108 6. 6. 4 Изоморфизмы управляемых алгебр Ли . . . . . . . . . 123 6. 7 Разрешимые алгебры Ли малой размерности . . . . . . . . . . 128 6. 8 Управляемость отрезков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6. 9 Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6. 10 Приложение: вспомогательные предложения . . . . . . . . . . 132 6. 11 Библиографические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 vi ОГЛАВЛЕНИЕ II Управляемость билинейных систем в ортантах 135 7 Введение 137 7. 1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7. 2 Библиографические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8 Инвариантные ортанты билинейных систем 139 8. 1 Знакосимметрические матрицы и их графы . . . . . . . . . . . 140 8. 2 Инвариантные ортанты линейного поля . . . . . . . . . . . . . 142 8. 3 Инвариантные ортанты билинейных систем . . . . . . . . . . . 146 8. 4 Симметрические матрицы и управляемость . . . . . . . . . . . 147 8. 5 Библиографические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 9 Управляемость двумерных систем 149 9. 1 Управляемость в открытом положительном ортанте . . . . . . 150 9. 2 Расширенная система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 9. 3 Системы со скалярным управлением . . . . . . . . . . . . . . . 152 9. 4 Системы с векторным управлением . . . . . . . . . . . . . . . . 154 9. 4. 1 Случай r = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 9. 4. 2 Случай r = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 9. 4. 3 Случай r = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 9. 5 Библиографические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10 Системы со скалярным управлением 157 10. 1 Предварительные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 10. 2 Условия управляемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 10. 3 Библиографические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11 Системы малой коразмерности 163 11. 1 Условия перемены знака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11. 2 Системы коразмерности один . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 11. 3 Управляемость по направлениям . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 11. 4 Системы коразмерности два . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 11. 5 Системы произвольной коразмерности . . . . . . . . . . . . . . 171 11. 6 Библиографические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 III Симметрии систем на группах Ли 173 12 Плоские субримановы структуры 177 13 Симметрии субримановых структур 181 14 Случай Гейзенберга 185 14. 1 Плоское распределение и плоская субриманова структура . . 185 14. 2 Симметрии распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 14. 3 Симметрии субримановой структуры . . . . . . . . . . . . . . . 188 ОГЛАВЛЕНИЕ vii 15 Случай Энгеля 193 15. 1 Алгебра Энгеля и группа Энгеля . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 15. 2 Плоское распределение и плоская субриманова структура . . 194 15. 3 Модель в R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 15. 3. 1 Симметрии распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 15. 3. 2 Симметрии субримановой структуры . . . . . . . . . . 198 15. 4 Трансверсальная контактная структура . . . . . . . . . . . . . 201 16 Случай Картана 203 16. 1 Алгебра Ли и группа Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 16. 2 Плоское распределение и субриманова структура . . . . . . . 204 16. 3 Модель Картана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 16. 4 Модель в R5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 16. 4. 1 Симметрии распределения . . . . . . . . . . . . . . . . 208 16. 4. 2 Симметрии субримановой структуры . . . . . . . . . . 220 17 Общая картина 223 18 Линейное представление алгебры g2 225 19 Библиографические замечания 231 Список иллюстраций 233 Библиография 235 viii ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Математическая теория управления — один из важных и востребованных разделов прикладной математики.