Читать онлайн «Фейнмановские лекции по физике.Т. IV (6)»
Автор Ричард Фейнман
Глава 15
ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
HYPERLINK \l "а1" § 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя
HYPERLINK \l "а2" § 2. Механическая и электрическая энергии
HYPERLINK \l "а3" § 3. Энергия постоянных токов
HYPERLINK \l "а4" § 4. В или А?
HYPERLINK \l "а5" § 5. Векторный потенциал и квантовая механика
HYPERLINK \l "а6" § 6. Что истинно в статике, но ложно в динами ке?
§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя
В предыдущей главе мы изучали магнитное поле, создаваемое маленькой прямоугольной петлей, по которой течет ток. Мы нашли, что это поле диполя с дипольным моментом, равным
(= IA, (15. 1)
где I — сила тока, a A — площадь петли. Момент направлен по нормали к плоскости петли, так что можно писать и так:
(=IАn,
где n — единичный вектор нормали к пло щади А.
Петли с током, или магнитные диполи, не только создают магнитные поля, но и сами подвергаются действию силы, попав в магнит ное поле других токов. Рассмотрим сперва силы, действующие на прямоугольную петлю в однородном магнитном поле. Пусть ось z направлена по полю, а ось y лежит в плоскости петли, образующей с плоскостью xy угол ( (фиг. 15. 1). Тогда магнитный момент петли, будучи нормальным к ее плоскости, образует с магнитным полем тоже угол (.
Раз токи на противоположных сторонах петли текут в противоположные стороны, то и силы, действующие на них, тоже направлены врозь, а суммарная сила равна нулю (в одно родном поле). Но благодаря силам, действую щим на стороны, обозначенные на фиг. 15. 1 цифрами 1 и 2, возникает вращательный момент, стремящийся вращать петлю вокруг оси у. Величина этих сил Fl и F2 такова:
F1=F2=IBb.
Фиг. 15. 1. Прямоугольная петля с током I в однородном поле В, направленном по оси z.
Действующий на нее вращательный момент равен (=(XB, где магнитный момент (=Iab.
Их плечо равно
так что вращательный момент
Вращательный момент может быть записан и векторно:
(15. 2)
То, что вращательный момент дается уравнением (15. 2), мы показали пока только для довольно частного случая. Но ре зультат, как мы увидим, верен для маленьких петель любой формы. Полезно напомнить, что и для вращательного момента, действующего на электрический диполь, мы получили соотно шение подобного же рода:
Сейчас нас интересует механическая энергия нашей петли, по которой течет ток. Раз есть момент вращения, то энергия, естественно, зависит от ориентации петли. Принцип виртуаль ной же работы утверждает, что момент вращения — это ско рость изменения энергии с углом, так что можно написать
Подставляя ( =+(Bsin( и интегрируя, мы вправе принять за энергию выражение
(Знак минус стоит потому, что петля стремится развернуть свой момент по полю; энергия ниже всего тогда, когда ( и В параллельны. )
По причинам, о которых мы поговорим позже, эта энергия не есть полная энергия петли с током. (Мы, к примеру, не учли энергии, идущей на поддержание тока в петле. ) По этому мы будем называть ее Uмех, чтобы не забыть, что это лишь часть энергии. И, кроме того, постоянную интегриро вания в (15. 3) мы вправе принять равной нулю, все равно ведь какие-то другие виды энергии мы не учли.
ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
HYPERLINK \l "а1" § 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя
HYPERLINK \l "а2" § 2. Механическая и электрическая энергии
HYPERLINK \l "а3" § 3. Энергия постоянных токов
HYPERLINK \l "а4" § 4. В или А?
HYPERLINK \l "а5" § 5. Векторный потенциал и квантовая механика
HYPERLINK \l "а6" § 6. Что истинно в статике, но ложно в динами ке?
§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя
В предыдущей главе мы изучали магнитное поле, создаваемое маленькой прямоугольной петлей, по которой течет ток. Мы нашли, что это поле диполя с дипольным моментом, равным
(= IA, (15. 1)
где I — сила тока, a A — площадь петли. Момент направлен по нормали к плоскости петли, так что можно писать и так:
(=IАn,
где n — единичный вектор нормали к пло щади А.
Петли с током, или магнитные диполи, не только создают магнитные поля, но и сами подвергаются действию силы, попав в магнит ное поле других токов. Рассмотрим сперва силы, действующие на прямоугольную петлю в однородном магнитном поле. Пусть ось z направлена по полю, а ось y лежит в плоскости петли, образующей с плоскостью xy угол ( (фиг. 15. 1). Тогда магнитный момент петли, будучи нормальным к ее плоскости, образует с магнитным полем тоже угол (.
Раз токи на противоположных сторонах петли текут в противоположные стороны, то и силы, действующие на них, тоже направлены врозь, а суммарная сила равна нулю (в одно родном поле). Но благодаря силам, действую щим на стороны, обозначенные на фиг. 15. 1 цифрами 1 и 2, возникает вращательный момент, стремящийся вращать петлю вокруг оси у. Величина этих сил Fl и F2 такова:
F1=F2=IBb.
Фиг. 15. 1. Прямоугольная петля с током I в однородном поле В, направленном по оси z.
Действующий на нее вращательный момент равен (=(XB, где магнитный момент (=Iab.
Их плечо равно
так что вращательный момент
Вращательный момент может быть записан и векторно:
(15. 2)
То, что вращательный момент дается уравнением (15. 2), мы показали пока только для довольно частного случая. Но ре зультат, как мы увидим, верен для маленьких петель любой формы. Полезно напомнить, что и для вращательного момента, действующего на электрический диполь, мы получили соотно шение подобного же рода:
Сейчас нас интересует механическая энергия нашей петли, по которой течет ток. Раз есть момент вращения, то энергия, естественно, зависит от ориентации петли. Принцип виртуаль ной же работы утверждает, что момент вращения — это ско рость изменения энергии с углом, так что можно написать
Подставляя ( =+(Bsin( и интегрируя, мы вправе принять за энергию выражение
(Знак минус стоит потому, что петля стремится развернуть свой момент по полю; энергия ниже всего тогда, когда ( и В параллельны. )
По причинам, о которых мы поговорим позже, эта энергия не есть полная энергия петли с током. (Мы, к примеру, не учли энергии, идущей на поддержание тока в петле. ) По этому мы будем называть ее Uмех, чтобы не забыть, что это лишь часть энергии. И, кроме того, постоянную интегриро вания в (15. 3) мы вправе принять равной нулю, все равно ведь какие-то другие виды энергии мы не учли.
