Читать онлайн «Краткий курс математического анализа. 1-й курс»

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА ВЫПУСК 2 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1967 Б. М. БУДАК, С. В. ФОМИН КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для физических и физико-математических факультетов университетов ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1967 517. 2 Б 90 УДК 517. 3/517. 52(075. 8) 2-2-3 'Л-Ъ7 ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов серии 14 Предисловие 14 Глава 1. Двойные интегралы 15 § 1. Некоторые вспомогательные понятия. Площадь плоской фигуры 16 1. Граничные и внутренние точки. Область (16). 2. Расстояние между множествами (18). 3. Площадь плоской фигуры (19). 4. Основные свойства площади (22). 5. О понятии меры множества (23). § 2. Определение и основные свойства двойного интеграла 24 1. Определение двойного интеграла (24). 2. Условия существования двойного интеграла. Верхние и нижние суммы (26). 3. Важнейшие классы интегрируемых функций (32). 4. Свойства двойного интеграла (33). § 3. Аддитивные функции области. Производная по площади ... . 35 1. Функции точки и функции области (35). 2. Двойной интеграл как аддитивная функция области (36). 3. Производная функции области по площади (36). 4. Производная по площади от двойного интеграла (37). 5. Восстановление аддитивной функции области по ее производной (38). 6. Определенный интеграл как функция области (40). 7. Продолжение функций области по аддитивности (41). § 4. Некоторые физические и геометрические применения двойных интегралов 41 1. Вычисление объемов (41). 2. Вычисление площадей (42). 3. Масса пластинки (42). 4. Координаты центра масс пластинки (43). 5. Моменты инерции пластинки (44). 6. Световой поток, падающий на пластинку (45). 7. Поток жидкости через поперечное сечение канала (45). § 5. Сведение двойного интеграла к повторному 46 1. Наводящие соображения (46). 2. Случай прямоугольной области (48). 3. Случай криволинейной области (50). § 6. Замена переменных в двойном интеграле 54 1. Отображение областей (54). 2. Криволинейные координаты (56). 3. Полярные координаты (57). 4. Постановка задачи о замене переменных в двойном интеграле (58). 5. Пло- б ОГЛАВЛЕНИЕ щадь в криволинейных координатах (59). 6. Замена переменных в двойном интеграле (66). 7. Сравнение с одномерным случаем. Интеграл по ориентированной области (69). Глава 2. Тройные и многократные интегралы 71 § 1. Определение и основные свойства тройного интеграла 71 1. Предварительные замечания. Объем пространственной фигуры (71). 2. Определение тройного интеграла (73). 3. Условия существования тройного интеграла. Интегрируемость непрерывных функций (74). 4. Свойства тройных интегралов (75). 5. Тройной интеграл как аддитивная функция области (76). § 2. Некоторые применения тройных интегралов в физике и геометрии 77 1. Вычисление объемов (77). 2.