Читать онлайн «Задачи и упражнения по функциональному анализу»

B. A. ТРЕНОГИН Б. М. ПИСАРЕВСКИЙ Т. С. СОБОЛЕВА ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Рекомендовано Министерствам общею и специальною образования Российской Федерации а качествеучебного пособия для студентов унмверситетов, ооримфыхш по егкушмншетяя "Математика" и "Прикладная математика" МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 2005 УДК 517. 5 ББК 22. 162 Т66 Треногий В. Α. , Π и с а р е в с к и й Б. М. , Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу: Учеб. пособие. — 2-е изд. , испр. и доп. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 240 с. — ISBN 5-9221-0271-0. Сборник содержит задачи по всем основным разделам курса функционального анализа, читаемого в вузах. Он ориентирован на учебное пособие В. А. Треногина «Функциональный анализ», вышедшее в 1980 г. Рамки задачника несколько шире требований программы. Первое издание — 1984 г. Для студентов технических вузов, специализирующихся в области прикладной математики. Библиогр. 28 назв. Рецензенты: кафедра высшей математики Московского инженерно-физического института; Л. Л. Кириллов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций и функционального анализа МГУ им. М. В. Ломоносова. © ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2005 © В. А. Треногий, Б. М. Писаревский, ISBN 5-9221-0271-0 Т. С. Соболева, 2002, 2005 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию 5 Предисловие к первому изданию 6 Глава 1. Нормированные пространства 9 § 1. Линейные нормированные пространства 9 § 2. Банаховы пространства 19 § 3. Гильбертовы пространства 23 § 4. Пространства Лебега и Соболева 29 § 5. Построение элемента наилучшего приближения в гильбер- 32 товых и банаховых пространствах § 6. Метрические и топологические пространства 37 Глава 2. Линейные операторы 43 § 7. Непрерывность, ограниченность и норма линейного опера- 43 тора § 8. Пространство ограниченных линейных операторов 47 § 9. Обратные операторы 54 § 10. Замкнутые операторы 57 Глава 3. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 60 §11. Непрерывные линейные функционалы 60 §12. Теорема Хана-Банаха. Структура сопряженного прост- 64 ранства § 13. Слабая сходимость. Рефлексивность 67 § 14. Сопряженные операторы 70 Глава 4. Компактные множества и вполне непрерывные операторы 74 §15. Компактные множества в нормированных пространствах . . 74 § 16. Линейные вполне непрерывные операторы 80 § 17. Нормально разрешимые операторы 87 Глава 5. Самосопряженные операторы. Спектральная теория 92 § 18. Самосопряженные операторы 92 § 19. Спектр линейного оператора 96 §20. Спектр вполне непрерывного и самосопряженного опера- 100 тора 4 Оглавление § 21. Линейные интегральные уравнения 103 §22. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве . . 110 Глава 6. Нелинейные операторы и уравнения в банаховых пространствах 115 § 23. Дифференцирование нелинейных операторов 115 §24. Принцип сжимающих отображений, итерационный процесс 123 Ньютона и принцип неподвижной точки Шаудера § 25. Неявные операторы 131 Глава 7. Дискретные приближения решений операторных уравнений 136 § 26.